Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 58°, ∠ABD = 16°, ∠BAC = 44°.Фото задания

Ответ:

Привет! Давай разберёмся с углами вписанного четырёхугольника.

Дано:

  • Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
  • ∠ACB = 58°
  • ∠ABD = 16°
  • ∠BAC = 44°

Найти: Все углы четырёхугольника ABCD (∠A, ∠B, ∠C, ∠D).

Свойства вписанного четырёхугольника:

  • Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.
  • Сумма противоположных углов равна 180°.

Решение:

  1. Углы, опирающиеся на одну дугу:
    • Дуга AB: На неё опираются ∠ACB и ∠ADB. Следовательно, ∠ADB = ∠ACB = 58°.
    • Дуга BC: На неё опираются ∠BAC и ∠BDC. Следовательно, ∠BDC = ∠BAC = 44°.
    • Дуга AC: На неё опираются ∠ABC и ∠ADC.
    • Дуга CD: На неё опираются ∠CAD и ∠CBD.
  2. Находим ∠A: ∠A = ∠BAC + ∠CAD. Нам известно ∠BAC = 44°. Чтобы найти ∠CAD, нам нужно найти ∠CBD (так как они опираются на одну дугу CD).
  3. Находим ∠B: ∠B = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Нам известно ∠ABD = 16°.
  4. Находим ∠C: ∠C = ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD. Нам известно ∠BCA (или ∠ACB) = 58°.
  5. Находим ∠D: ∠D = ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC. Мы уже нашли: ∠ADB = 58° и ∠BDC = 44°.
  6. Вычисляем ∠D: ∠D = 58° + 44° = 102°.
  7. Используем свойство противоположных углов:
    • ∠B + ∠D = 180°. Значит, ∠B = 180° - ∠D = 180° - 102° = 78°.
    • ∠A + ∠C = 180°.
  8. Теперь найдём недостающие углы для ∠A и ∠C:
    • В треугольнике ABC: ∠BCA = 58°, ∠BAC = 44°. Сумма углов в треугольнике = 180°. Значит, ∠ABC (внутренний угол треугольника ABC) = 180° - 58° - 44° = 78°. Это совпадает с найденным ∠B.
    • В треугольнике ABD: ∠ABD = 16°, ∠ADB = 58°. Значит, ∠BAD (внутренний угол треугольника ABD) = 180° - 16° - 58° = 106°.
  9. Пересчитываем ∠A: Мы получили, что ∠A = ∠BAD (в треугольнике ABD) = 106°.
  10. Вычисляем ∠C: ∠C = 180° - ∠A = 180° - 106° = 74°.
  11. Проверяем ∠C: ∠C = ∠ACB + ∠ACD. Нам известно ∠ACB = 58°. Значит, ∠ACD = ∠C - ∠ACB = 74° - 58° = 16°.
  12. Проверяем ∠B: ∠B = ∠ABD + ∠CBD. Мы знаем ∠ABD = 16°. Чтобы найти ∠CBD, нам нужно знать ∠CAD.
  13. Найдём ∠CAD: ∠CAD = ∠A - ∠BAC = 106° - 44° = 62°.
  14. Найдём ∠CBD: ∠CBD опирается на дугу CD, так же как и ∠CAD. Следовательно, ∠CBD = ∠CAD = 62°.
  15. Пересчитываем ∠B: ∠B = ∠ABD + ∠CBD = 16° + 62° = 78°. Это совпадает с предыдущим расчётом.
  16. Пересчитываем ∠C: ∠C = ∠BCA + ∠ACD = 58° + 16° = 74°. Это совпадает.

Итог:

  • ∠A = 106°
  • ∠B = 78°
  • ∠C = 74°
  • ∠D = 102°

Проверка: Сумма противоположных углов: ∠A + ∠C = 106° + 74° = 180°. ∠B + ∠D = 78° + 102° = 180°. Всё верно!

Ответ: Углы четырёхугольника ABCD равны 106°, 78°, 74°, 102° соответственно.