5. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin² x = cos x, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).

Подставим в уравнение:

\[ (2\cos^2 x - 1) + \sin^2 x = \cos x \]

Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \) (основное тригонометрическое тождество):

\[ 2\cos^2 x - 1 + (1 - \cos^2 x) = \cos x \]\[ \cos^2 x = \cos x \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ \cos^2 x - \cos x = 0 \]

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (\cos x - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \cos x = 0 \)

На отрезке \( [-\pi; \pi] \) решениями являются \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \).

2. \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)

На отрезке \( [-\pi; \pi] \) решением является \( x = 0 \).

Объединяя все найденные решения, получаем:

\[ x = -\frac{\pi}{2}, \quad x = 0, \quad x = \frac{\pi}{2} \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2} \).