5. Найдите значение выражения. 2 Sin α Cos β / (Cos(α+β) + Cos(α-β)), если α = ...

Решение:

Воспользуемся формулами для суммы и разности косинусов:

• \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
• \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)

Сложим эти два равенства:

\[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \]\[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta} \]

Сократим 2 и \( \cos \beta \) (предполагая, что \( \cos \beta \neq 0 \)):

\[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \]

Таким образом, значение выражения равно \( \tan \alpha \).

Ответ: \( \tan \alpha \).