5. Найдите значение выражения −a²+18ab+81b² при a=2 4 1 , b= 13 13 .

Решение:

Данное выражение представляет собой квадратный трехчлен под корнем. Приведем его к полному квадрату:

\( \sqrt{a^2 + 18ab + 81b^2} \)

Заметим, что \( a^2 \) — это квадрат первого члена, а \( 81b^2 = (9b)^2 \) — квадрат второго члена. Проверим средний член:

\( 2 \cdot a \cdot 9b = 18ab \)

Таким образом, выражение под корнем является полным квадратом:

\( \sqrt{(a + 9b)^2} = |a + 9b| \)

Теперь подставим заданные значения \( a = 2\frac{4}{13} \) и \( b = \frac{1}{13} \).

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

\( a = 2\frac{4}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{26 + 4}{13} = \frac{30}{13} \)

Подставим значения \( a \) и \( b \) в выражение \( |a + 9b| \):

\( |\frac{30}{13} + 9 \cdot \frac{1}{13}| = |\frac{30}{13} + \frac{9}{13}| \)

Сложим дроби под модулем, так как у них одинаковый знаменатель:

\( |\frac{30 + 9}{13}| = |\frac{39}{13}| \)

Выполним деление:

\( |3| = 3 \)

Так как результат положительный, модуль снимается без изменения знака.

Ответ: 3