5) Найти: AB.

Решение:

Это задача по геометрии. Перед нами треугольник ABC, в котором проведен перпендикуляр AD к стороне BC. Дано:

• \(\angle B = 45^{\circ}\)
• \(\angle ADB = 90^{\circ}\) (так как AD \(\perp\) BC)
• AD = 8

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. Угол \(\angle B = 45^{\circ}\), а \(\angle ADB = 90^{\circ}\). Сумма углов в треугольнике равна 180\(^{\circ}\), следовательно, \(\angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\).

Так как \(\angle B = \angle BAD = 45^{\circ}\), треугольник ADB является равнобедренным с основанием AB. Следовательно, катеты AD и BD равны:

\( AD = BD = 8 \)

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AB в прямоугольном треугольнике ADB:

\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( AB^2 = 8^2 + 8^2 \)

\( AB^2 = 64 + 64 \)

\( AB^2 = 128 \)

\( AB = \sqrt{128} \)

Упростим корень:

\( AB = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \)

Ответ: AB = 8\(\sqrt{2}\).