5. Найти энергию связи ядра бериллия 8 4Be, если его относительная атомная масса 8,00531 а.е.м.

Решение:

Энергия связи ядра — это энергия, которую необходимо затратить, чтобы полностью разделить ядро на составляющие его нуклеоны (протоны и нейтроны). Её можно рассчитать по формуле:

\[ E_{связи} = \Delta m \cdot c^2 \]

Где:

• $$E_{связи}$$ — энергия связи ядра
• $$c$$ — скорость света в вакууме (приблизительно \(3 \times 10^8\) м/с)
• $$\Delta m$$ — дефект массы ядра

Дефект массы вычисляется как разница между суммарной массой нуклонов, из которых состоит ядро, и фактической массой ядра:

\[ \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - M_{ядра} \]

Где:

• $$Z$$ — зарядовое число (количество протонов)
• $$N$$ — число нейтронов
• $$m_p$$ — масса протона (приблизительно \(1.007276\) а.е.м.)
• $$m_n$$ — масса нейтрона (приблизительно \(1.008665\) а.е.м.)
• $$M_{ядра}$$ — фактическая масса ядра.

В данном случае рассматривается ядро бериллия \(^8_4\text{Be}\). Его относительная атомная масса дана как \(M_{ядра} = 8.00531\) а.е.м. (Это значение уже включает массу электронов, но для расчета энергии связи ядра нам нужна масса именно ядра. Часто в задачах используют относительную атомную массу как приближение для массы ядра, но более корректно использовать массу ядра. Если задача подразумевает использование атомной массы, то мы считаем, что \(M_{ядра}\) = 8.00531 а.е.м.).

Для бериллия \(^8_4\text{Be}\):

• $$Z = 4$$ (количество протонов)
• $$N = A - Z = 8 - 4 = 4$$ (количество нейтронов)

Теперь рассчитаем суммарную массу протонов и нейтронов:

\[ \text{Суммарная масса нуклонов} = (4 \times m_p) + (4 \times m_n) \]

\[ \text{Суммарная масса нуклонов} = (4 \times 1.007276 \text{ а.е.м.}) + (4 \times 1.008665 \text{ а.е.м.}) \]

\[ \text{Суммарная масса нуклонов} = 4.029104 \text{ а.е.м.} + 4.034660 \text{ а.е.м.} = 8.063764 \text{ а.е.м.} \]

Теперь найдем дефект массы:

\[ \Delta m = 8.063764 \text{ а.е.м.} - 8.00531 \text{ а.е.м.} = 0.058454 \text{ а.е.м.} \]

Чтобы перевести дефект массы в килограммы, умножим на \(1.66054 \times 10^{-27}\) кг/а.е.м.:

\[ \Delta m = 0.058454 \text{ а.е.м.} \times 1.66054 \times 10^{-27} \text{ кг/а.е.м.} \approx 9.707 \times 10^{-29} \text{ кг} \]

Теперь рассчитаем энергию связи:

\[ E_{связи} = \Delta m \cdot c^2 \]

\[ E_{связи} = (9.707 \times 10^{-29} \text{ кг}) \times (3 \times 10^{8} \text{ м/с})^2 \]

\[ E_{связи} = (9.707 \times 10^{-29} \text{ кг}) \times (9 \times 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2) \]

\[ E_{связи} \approx 87.363 \times 10^{-13} \text{ Дж} \approx 8.736 \times 10^{-12} \text{ Дж} \]

Часто энергию связи выражают в МэВ (мегаэлектрон-вольтах). Для этого удобно использовать соотношение \(1 \text{ а.е.м.} \approx 931.5 \text{ МэВ/c}^2\).

Тогда дефект массы в энергетических единицах:

\[ E_{связи} = \Delta m \cdot c^2 \]

Если \(\Delta m\) выражено в а.е.м., то энергия связи в МэВ равна:

\[ E_{связи} = \Delta m \text{ (а.е.м.)} \times 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \]

\[ E_{связи} = 0.058454 \text{ а.е.м.} \times 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \]

\[ E_{связи} \approx 54.47 \text{ МэВ} \]

Ответ: Энергия связи ядра бериллия \(^8_4\text{Be}\) составляет приблизительно \(54.47\) МэВ.