5. Найти углы трапеции ABCD. По рисунку: AD ∥ BC, AB = BC = CD, AC ⟂ CD.

Обозначим через x горизонтальную проекцию боковой стороны AB на основание AD, а через h высоту трапеции. Так как AB = CD и AD ∥ BC, трапеция равнобедренная: проекции обеих боковых сторон на основание равны x.

Пусть BC = AB = CD = a. Тогда горизонтальная проекция AC равна a + x. Из перпендикулярности AC ⟂ CD получаем по скалярному произведению: \((a+x)x-h^2=0\), то есть \(h^2=x(a+x)\).

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой AB: \(a^2=x^2+h^2\). Подставим выражение для \(h^2\): \(a^2=x^2+x(a+x)\), откуда \(2x^2+ax-a^2=0\). Положительное решение: \(x=\frac a2\). Следовательно, \(h^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\).

Угол A между боковой стороной и основанием удовлетворяет \(\tan A=\frac{h}{x}=\sqrt3\), значит, \(\angle A=60^\circ\). У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\).

Ответ: \(\angle A=\angle D=60^\circ\), \(\angle B=\angle C=120^\circ\).