5. Найти углы трапеции KLMN. На рисунке KL ∥ NM, KN = KL = LM, ∠LNM = 30°.

Так как KL ∥ NM, накрест лежащие углы равны: ∠KLN = ∠LNM = 30°.

В треугольнике KNL стороны KN и KL равны, поэтому углы при основании равны: ∠KNL = ∠KLN = 30°. Тогда ∠K = 180° − 30° − 30° = 120°.

Угол трапеции при N состоит из углов ∠KNL и ∠LNM: ∠N = 30° + 30° = 60°.

Углы K и L, а также N и M — односторонние при параллельных основаниях. Поэтому ∠L = 180° − 120° = 60°? Уточним: угол трапеции при L смежен с углом K? Учитывая ∠KLN = 30° и равенство KL = LM = KN, получаем в треугольнике NLM угол при M равен 60°, а угол при L равен 90°. Следовательно, угол трапеции при L равен ∠KLN + ∠NLM = 30° + 90° = 120°.

Тогда ∠M = 180° − ∠L = 60°.

Ответ: ∠K = 120°, ∠L = 120°, ∠M = 60°, ∠N = 60°.