5. Общая длина рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 684 дм. Первое ребро вдвое меньше второго, а второе на 45 дм меньше третьего. Найдите длины рёбер параллелепипеда.

Решение:

Обозначим длины рёбер параллелепипеда как $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Из условия задачи:

• Общая длина всех рёбер равна 684 дм. Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер: 4 ребра длиной $$a$$, 4 ребра длиной $$b$$ и 4 ребра длиной $$c$$. Следовательно, $$4a + 4b + 4c = 684$$.
• Первое ребро ($$a$$) вдвое меньше второго ($$b$$): $$a = \frac{b}{2}$$.
• Второе ребро ($$b$$) на 45 дм меньше третьего ($$c$$): $$b = c - 45$$, откуда $$c = b + 45$$.

Теперь подставим выражения для $$a$$ и $$c$$ через $$b$$ в уравнение для общей длины рёбер:

1. $$4 \left( \frac{b}{2} \right) + 4b + 4(b + 45) = 684$$
2. $$2b + 4b + 4b + 180 = 684$$
3. $$10b + 180 = 684$$
4. $$10b = 684 - 180$$
5. $$10b = 504$$
6. $$b = \frac{504}{10} = 50.4$$ дм

Теперь найдём длины $$a$$ и $$c$$:

1. $$a = \frac{b}{2} = \frac{50.4}{2} = 25.2$$ дм
2. $$c = b + 45 = 50.4 + 45 = 95.4$$ дм

Проверка:

1. $$4a + 4b + 4c = 4(25.2) + 4(50.4) + 4(95.4) = 100.8 + 201.6 + 381.6 = 684$$ дм.

Финальный ответ:

Длины рёбер параллелепипеда: 25.2 дм, 50.4 дм, 95.4 дм.