5. (ОБЗ) На шоссе машина дедушки расходует 6,5 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Горюново мимо пруда ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Решение:

1. Расход бензина на пути через Ванютино:

Путь: Антоновка → Ванютино (шоссе) → Богданово (шоссе).

Расстояние Антоновка → Ванютино по шоссе = 15 км (из описания).

Расстояние Ванютино → Богданово по шоссе = 12 км (из задания 2).

Общее расстояние по шоссе = 15 км + 12 км = 27 км.

Расход на шоссе = 6,5 л / 100 км.

Бензин на этом пути = (27 км / 100 км) * 6,5 л = 0,27 * 6,5 л = 1,755 л.

2. Расход бензина на пути через Горюново:

Путь: Антоновка → Горюново (просёлочная дорога) → Богданово (шоссе).

Из предыдущего задания, мы приняли, что расстояние Антоновка → Горюново по просёлочной дороге = 6 км.

Расстояние Горюново → Богданово по шоссе: Это расстояние не указано прямо. Однако, в описании сказано: "Четвертый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино в Горюново по проселочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе." Это означает, что Горюново находится на шоссе, ведущем к Богданово.

Из описания "Третий маршрут проходит по проселочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово."

Если Горюново находится на просёлочной дороге между Антоновкой и Богданово, а также на шоссе, то это противоречие. Предположим, что Горюново - точка на шоссе, но доступ к ней может быть и по просёлочной дороге.

Давайте пересмотрим условие задания 4.

Наименьшее время из Антоновки в Горюново: 12 минут.

Теперь вернёмся к заданию 5.

Путь 1 (через Ванютино): Антоновка (1) → Ванютино (2) (шоссе, 15 км) → Богданово (4) (шоссе, 12 км). Общее расстояние по шоссе = 27 км.

Путь 2 (через Горюново): Антоновка → Горюново (просёлочная) → Богданово (шоссе).

Расстояние Антоновка → Богданово по просёлочной дороге = 12 км.

Путь через Горюново: Антоновка → Горюново (просёлочная) + Горюново → Богданово (шоссе).

Предположим, что Горюново находится на просёлочной дороге между Антоновкой и Богданово. Расстояние Антоновка → Богданово по просёлочной = 12 км. Из задания 4, мы нашли, что наименьшее время до Горюново из Антоновки - 12 минут, что соответствует 6 км.

Следовательно, расстояние Антоновка → Горюново (просёлочная) = 6 км.

Тогда расстояние Горюново → Богданово по просёлочной дороге = 12 км - 6 км = 6 км.

Если путь через Горюново идёт по просёлочной дороге до Горюново, а затем по шоссе до Богданово, то нам нужно расстояние Горюново → Богданово по шоссе.

Рассмотрим описание: "...от Горюново до Богданово по шоссе."

Из описания: "...от Богданово до Антоновки можно проехать по просёлочной дороге..."

"...Третий маршрут проходит по проселочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово."

Это значит, что Горюново является точкой, где просёлочная дорога соединяется с шоссе, идущим к Богданово. Расстояние от Антоновки до Горюново по просёлочной дороге - 6 км.

Расстояние Горюново → Богданово по шоссе: Известно, что расстояние от Антоновки до Богданово по шоссе через Ванютино = 27 км. Расстояние Антоновки до Ванютино по шоссе = 15 км. Расстояние Ванютино до Богданово по шоссе = 12 км. Общее = 27 км.

Если Горюново находится на просёлочной дороге, ведущей к Богданово, и также на шоссе, ведущем к Богданово, то расстояние Антоновка → Горюново (просёлочная) = 6 км. Тогда Горюново - это точка на просёлочной дороге.

Путь через Горюново: Антоновка → Горюново (просёлочная, 6 км) + Горюново → Богданово (шоссе).

Расстояние Антоновка → Богданово (просёлочная) = 12 км. Расстояние Антоновка → Горюново (просёлочная) = 6 км. Значит, Горюново находится посередине просёлочной дороги.

Теперь нам нужно расстояние Горюново → Богданово по шоссе. На плане, точка 4 (Богданово) и точка, откуда идет просёлочная дорога к 1 (Антоновка), соединены прямой линией (16 км). Если Горюново находится на этой просёлочной дороге, то это не точка на шоссе.

Перечитаем описание: "...где можно свернуть на шоссе до Богданово."

Это значит, что Горюново - это точка на просёлочной дороге, и от неё идёт шоссе до Богданово.

Если Антоновка → Горюново (просёлочная) = 6 км, и Антоновка → Богданово (просёлочная) = 12 км, то Горюново находится посередине.

Расстояние Горюново → Богданово по шоссе: неизвестно. Но известно, что Ванютино → Богданово по шоссе = 12 км. Антоновка → Ванютино по шоссе = 15 км. Антоновка → Богданово по шоссе = 27 км.

Если расход бензина одинаков, значит, и "эффективные" расстояния равны, учитывая разный расход.

Пусть $$R_{шоссе} = 6.5$$ л/100 км.

Пусть $$R_{пров} =$$ расход на просёлочной дороге (л/100 км).

Путь 1 (через Ванютино): $$27$$ км по шоссе.

Бензин = $$\frac{27}{100} \times 6.5 = 1.755$$ л.

Путь 2 (через Горюново): $$6$$ км (просёлочная) + $$X$$ км (шоссе).

Общее расстояние по шоссе от Антоновки до Богданово = 27 км.

Если Горюново находится на просёлочной дороге, и от нее идет шоссе до Богданово, то предположим, что это шоссе идет от Горюново до Богданово.

Мы знаем, что Антоновка → Богданово по шоссе = 27 км. Если Горюново - точка на просёлочной дороге, и от нее идет шоссе до Богданово, тогда расстояние Горюново → Богданово по шоссе будет меньше 27 км.

Давайте предположим, что Горюново находится на прямой линии между Антоновкой и Богданово, и также на проселочной дороге.

Если Антоновка → Горюново (просёлочная) = 6 км.

И Горюново → Богданово (шоссе) = $$X$$ км.

Общий расход бензина на этом пути:

$$(\frac{6}{100} \times R_{пров}) + (\frac{X}{100} \times 6.5)$$.

Этот расход равен $$1.755$$ л.

$$(\frac{6}{100} \times R_{пров}) + (\frac{X}{100} \times 6.5) = 1.755$$

Нам нужно найти $$X$$.

Расстояние Антоновка → Богданово по шоссе = 27 км. Если Горюново находится где-то между Антоновкой и Богданово, то $$X < 27$$.

Рассмотрим другой вариант:

Путь через Горюново: Антоновка (1) → Горюново (просёлочная, 6 км) → Богданово (4) (шоссе).

Если Горюново находится на шоссе, идущем к Богданово, то расстояние Горюново → Богданово по шоссе.

На плане, расстояние от 1 до 4 по прямой = 16 км. Это может быть не шоссе.

Давайте предположим, что путь через Горюново - это: Антоновка → Горюново (просёлочная) + Горюново → Богданово (просёлочная).

Тогда: 6 км (просёлочная) + 6 км (просёлочная) = 12 км (общий просёлочный путь).

Бензин = $$(\frac{12}{100} \times R_{пров})$$.

$$(\frac{12}{100} \times R_{пров}) = 1.755$$ л.

$$R_{пров} = \frac{1.755 \times 100}{12} = \frac{175.5}{12} = 14.625$$ л/100 км.

Проверим условие: "...путь через Горюново мимо пруда ей необходим один и тот же объём бензина."

Если путь через Горюново = 12 км (просёлочная), расход = 1.755 л.

Расход на 100 км = $$\frac{1.755 \times 100}{12} = 14.625$$ л/100 км.

Ответ: 14.625