5) Одна из сторон равнобедренного треугольника на 3 см короче другой. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 51 см (рассмотрите два случая).

Решение:

Обозначим стороны равнобедренного треугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) — боковая сторона, а \(b\) — основание.

Периметр треугольника \(P = 2a + b\).

Дано: \(P = 51\) см.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Боковая сторона на 3 см короче основания.

\(a = b - 3\)

Подставим в формулу периметра:

\[ 2(b - 3) + b = 51 \]

\[ 2b - 6 + b = 51 \]

\[ 3b = 51 + 6 \]

\[ 3b = 57 \]

\[ b = \frac{57}{3} \]

\[ b = 19 \text{ см} \]

Найдем длину боковой стороны:

\[ a = b - 3 = 19 - 3 = 16 \text{ см} \]

Проверим условие существования треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.

\[ 16 + 16 > 19 \implies 32 > 19 \text{ (верно)} \]

\[ 16 + 19 > 16 \implies 35 > 16 \text{ (верно)} \]

Случай 2: Основание на 3 см короче боковой стороны.

\(b = a - 3\)

Подставим в формулу периметра:

\[ 2a + (a - 3) = 51 \]

\[ 3a - 3 = 51 \]

\[ 3a = 51 + 3 \]

\[ 3a = 54 \]

\[ a = \frac{54}{3} \]

\[ a = 18 \text{ см} \]

Найдем длину основания:

\[ b = a - 3 = 18 - 3 = 15 \text{ см} \]

Проверим условие существования треугольника:

\[ 18 + 18 > 15 \implies 36 > 15 \text{ (верно)} \]

\[ 18 + 15 > 18 \implies 33 > 18 \text{ (верно)} \]

Ответ: Основание треугольника может быть равно 19 см (боковые стороны по 16 см) или 15 см (боковые стороны по 18 см).