5. Определите период малых колебаний математического маятника-шарика, подвешенного на нити длинной 1,25 м, если он находился в жидкости, плотность которой в 2 раза меньше плотности шарика.

Решение:

Дано: l = 1,25 м \( \rho_{жидкости} = \frac{1}{2} \rho_{шарика} \)

Найти: T

1. Ускорение свободного падения в жидкости g' определяется как разность между ускорением свободного падения в воздухе g и ускорением, вызванным выталкивающей силой (сила Архимеда):

\[ g' = g - a_{Архимеда} \]

Сила Архимеда пропорциональна плотности жидкости, а вес шарика — плотности шарика. Ускорение, вызванное силой Архимеда, равно:

\[ a_{Архимеда} = g \frac{\rho_{жидкости}}{\rho_{шарика}} \]\[ a_{Архимеда} = g \frac{\frac{1}{2} \rho_{шарика}}{\rho_{шарика}} = \frac{1}{2} g \]

Следовательно, ускорение свободного падения в жидкости:

\[ g' = g - \frac{1}{2} g = \frac{1}{2} g \]

Период колебаний математического маятника в жидкости:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\frac{1}{2} g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2l}{g}} \]

Так как период в воздухе \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), то период в жидкости:

\[ T = \sqrt{2} T_0 \]

Примем \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \) и \( \pi \approx 3.14 \):

\[ T_0 = 2 \cdot 3.14 \sqrt{\frac{1.25}{9.8}} \approx 6.28 \sqrt{0.12755} \approx 6.28 \cdot 0.357 \approx 2.24 \text{ с} \]

Тогда:

\[ T = \sqrt{2} \cdot T_0 \approx 1.414 \cdot 2.24 \text{ с} \approx 3.17 \text{ с} \]

Ответ: ≈ 3.17 с