5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Дано:

• Прямая треугольная призма.
• Основание — прямоугольный треугольник с катетами a = 5, b = 12.
• Высота призмы h = 8.

Найти: Площадь полной поверхности призмы (S_{полн}).

Решение:

1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника основания (c):
   По теореме Пифагора:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ c = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]
2. Найдем площадь одного основания (S_{осн}):
   Площадь прямоугольного треугольника:
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b \] \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}^2 \]
3. Найдем площадь боковой поверхности (S_{бок}):
   Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
   Периметр основания P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 см.
   \[ S_{бок} = P \times h \] \[ S_{бок} = 30 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 240 \text{ см}^2 \]
4. Найдем площадь полной поверхности (S_{полн}):
   Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.
   \[ S_{полн} = 2 \times S_{осн} + S_{бок} \] \[ S_{полн} = 2 \times 30 \text{ см}^2 + 240 \text{ см}^2 \] \[ S_{полн} = 60 \text{ см}^2 + 240 \text{ см}^2 = 300 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь поверхности призмы равна 300 см².