5. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Равнобедренная трапеция
• Основания a = 18, b = 8
• Периметр P = 52

Найти:

• Площадь трапеции S

Решение:

1. Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = a + b + 2c (где c — боковая сторона).
2. \[ 52 = 18 + 8 + 2c \]
3. \[ 52 = 26 + 2c \]
4. \[ 2c = 52 - 26 = 26 \]
5. \[ c = 13 \]
6. Боковая сторона трапеции равна 13.
7. Теперь найдем высоту трапеции. Опустим из вершин меньшего основания перпендикуляры на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника.
8. Катет меньшего основания = (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5.
9. В прямоугольном треугольнике катеты — это высота (h) и отрезок основания (5), а гипотенуза — боковая сторона (13).
10. Используем теорему Пифагора:
11. \[ h^2 + 5^2 = 13^2 \]
12. \[ h^2 + 25 = 169 \]
13. \[ h^2 = 169 - 25 = 144 \]
14. \[ h = \sqrt{144} = 12 \]
15. Высота трапеции равна 12.
16. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:
17. \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]
18. \[ S = \frac{18+8}{2} \times 12 \]
19. \[ S = \frac{26}{2} \times 12 \]
20. \[ S = 13 \times 12 = 156 \]

Ответ: 156