5. Перестановки и факториал. Число перестановок n элементов равно n!. а) Вычисли: 7!; 6!; 7! : 6!; 7! : (5! · 2!). б) Реши задачи: 1) Сколькими способами можно составить расписание из 6 разных уроков на день? 2) Сколькими способами 5 учащихся викторины могут занять 5 разных мест за столом?

а) Вычисления

1. По определению факториала перемножаем все натуральные числа от 1 до 7: \(7! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7 = 5040\).

2. Перемножаем числа от 1 до 6: \(6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720\).

3. Сокращаем одинаковый множитель \(6!\): \(\frac{7!}{6!}=7\).

4. Раскрываем факториалы и сокращаем \(5!\): \(\frac{7!}{5!\cdot2!}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21\).

б) Решение задач

1. Все 6 уроков разные, и порядок уроков важен. Число расписаний равно числу перестановок из 6 элементов: \(6! = 720\).

2. Все 5 учащихся занимают разные места, поэтому порядок размещения важен. Число способов равно \(5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120\).

Ответ: а) 5040; 720; 7; 21. б) 1) 720 способов; 2) 120 способов.