5. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке вы- пали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение:

Обозначим:

• Событие A — выпали очки 3 и 5 (в любом порядке) при бросании кубика.
• Событие B — бросали второй кубик.

Нам нужно найти условную вероятность \( P(B|A) \), то есть вероятность того, что бросали второй кубик, если известно, что выпали очки 3 и 5.

По формуле Байеса: \( P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \)

Для начала определим вероятности для каждого кубика.

Первый кубик (обычный):

• На гранях числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Всего исходов при двух бросках: \( 6 \times 6 = 36 \).
• Вероятность выпадения 3 и 5 (в любом порядке) при бросании первого кубика:
• (3, 5) — \( \frac{1}{36} \)
• (5, 3) — \( \frac{1}{36} \)
• \( P(A|\text{первый кубик}) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \)

Второй кубик:

• На гранях числа: 1, 1, 3, 3, 5, 5.
• Всего исходов при двух бросках: \( 6 \times 6 = 36 \).
• Вероятность выпадения 3 и 5 (в любом порядке) при бросании второго кубика:
• (3, 5) — \( \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} \)
• (5, 3) — \( \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} \)
• \( P(A|\text{второй кубик}) = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \)

Теперь применим формулу Байеса. Предположим, что выбор кубика случаен, то есть \( P(\text{первый кубик}) = P(\text{второй кубик}) = \frac{1}{2} \).

Сначала найдём общую вероятность события A (выпали 3 и 5):

\( P(A) = P(A|\text{первый кубик}) \cdot P(\text{первый кубик}) + P(A|\text{второй кубик}) \cdot P(\text{второй кубик}) \)

\( P(A) = \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{36} + \frac{2}{18} = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} = \frac{5}{36} \)

Теперь найдём вероятность того, что бросали второй кубик, если выпали 3 и 5:

\( P(\text{второй кубик}|A) = \frac{P(A|\text{второй кубик}) \cdot P(\text{второй кубик})}{P(A)} \)

\( P(\text{второй кубик}|A) = \frac{\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{36}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{36}{5} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5} \)

Ответ: \( \frac{4}{5} \).