5. По данным рис. 155 докажите, что BD = 3/4 AB.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( ∠C = 90^\circ \). CD — высота, проведенная к гипотенузе AB.

В прямоугольном треугольнике ABC, CD является высотой, опущенной на гипотенузу. По теореме о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике:

\( CD^2 = AD · DB \)

В данном рисунке обозначения:

• \( AD = x \)
• \( CD = 2x \)

Подставляем известные значения в формулу:

\( (2x)^2 = x · DB \)

\( 4x^2 = x · DB \)

Разделим обе части на \( x \) (так как \( x \) — это длина отрезка, \( x ≠ 0 \)):

\( DB = 4x \)

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

\( AB = AD + DB \)

\( AB = x + 4x \)

\( AB = 5x \)

Нам нужно доказать, что \( BD = \frac{3}{4} AB \). Давайте проверим:

\( \frac{3}{4} AB = \frac{3}{4} · (5x) = \frac{15x}{4} \)

Мы получили, что \( BD = 4x \), а \( \frac{3}{4} AB = \frac{15x}{4} \).

\( 4x ≠ \frac{15x}{4} \)

В условии задачи, возможно, допущена опечатка, так как приведенные данные на рисунке не соответствуют требуемому доказываемому равенству. Если бы требовалось доказать, что \( BD = 4 AD \), это было бы верным.

Исходя из рисунка, мы можем доказать, что \( BD = 4 AD \).

\( \frac{BD}{AD} = \frac{4x}{x} = 4 \), следовательно \( BD = 4 AD \).

Если предположить, что \( AB = 4x \) и \( BD = 3x \), то \( AD = AB - BD = 4x - 3x = x \). Тогда \( CD^2 = AD · BD = x · 3x = 3x^2 \) и \( CD = √{3}x \), что противоречит условию \( CD = 2x \).

Возможно, условие должно быть \( AB = 4 \) и \( BD = 3 \)? Тогда \( AD = 1 \), \( CD^2 = 1 · 3 = 3 \) и \( CD = √{3} \). Опять противоречие \( CD = 2x \).

Если принять \( AD=3 \) и \( BD=4 \) (тогда \( AB=7 \)), то \( CD^2 = 3 · 4 = 12 \), \( CD = √{12} = 2√{3} \). Не сходится.

Если принять \( AD=3k \) и \( AB=4k \), то \( BD = AB - AD = 4k - 3k = k \). Тогда \( CD^2 = AD · BD = 3k · k = 3k^2 \) и \( CD = k√{3} \). Не сходится.

Перепроверим условие \( BD = \frac{3}{4} AB \). Из рисунка \( AD = x \), \( CD = 2x \). Из теоремы \( CD^2 = AD · BD \) следует \( (2x)^2 = x · BD \), то есть \( 4x^2 = x · BD \), откуда \( BD = 4x \).

Тогда \( AB = AD + BD = x + 4x = 5x \).

\( \frac{BD}{AB} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5} \).

Таким образом, по данным рисунка, \( BD = \frac{4}{5} AB \), а не \( \frac{3}{4} AB \).

Примечание: Возможно, в условии задачи или на рисунке есть опечатка. Приведенное решение основано на данных, явно указанных на рисунке.