5. По данным рис. 160 докажите, что AD = 1/3 BD.

Решение:

Нам нужно доказать, что в треугольнике ABC, где CD — высота, а AD — отрезок, проведенный из вершины A, выполняется равенство $$AD = \frac{1}{3}BD$$.

Шаг 1: Анализ данных

У нас есть прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°). CD — высота, проведенная к гипотенузе AB. Это означает, что $$\angle CDB = 90°$$ и $$\angle CDA = 90°$$.

В условии задачи указаны длины сторон: $$CB = 2x$$ и $$CD = x$$.

Шаг 2: Использование свойств прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. У нас есть катет $$CD = x$$ и гипотенуза $$CB = 2x$$.

В прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

Следовательно, $$\angle B = 30°$$ (так как $$CD = \frac{1}{2}CB$$).

Шаг 3: Нахождение углов треугольника ABC

Так как $$\angle C = 90°$$ и $$\angle B = 30°$$, то $$\angle A = 180° - 90° - 30° = 60°$$.

Шаг 4: Рассмотрение треугольника CDA

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDA (угол D = 90°).

Мы знаем, что $$\angle A = 60°$$ (из треугольника ABC).

В треугольнике CDA, $$\angle ACD = 180° - 90° - 60° = 30°$$.

Шаг 5: Нахождение отношений сторон в треугольнике CDA

В прямоугольном треугольнике CDA, катет $$CD$$ противолежит углу $$\angle A = 60°$$, а катет $$AD$$ противолежит углу $$\angle ACD = 30°$$.

Отношение сторон в прямоугольном треугольнике: катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы ($$AD = \frac{1}{2}AC$$).

Отношение катетов: $$\frac{CD}{AD} = \tan(\angle A) = \tan(60°) = \sqrt{3}$$.

Отсюда $$CD = AD \cdot \sqrt{3}$$, или $$AD = \frac{CD}{\cdot \sqrt{3}} = \frac{x}{\cdot \sqrt{3}}$$.

Шаг 6: Использование теоремы о высоте в прямоугольном треугольнике

Существует теорема: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу ($$CD^2 = AD \cdot BD$$).

Мы знаем $$CD = x$$, значит $$CD^2 = x^2$$.

Теперь нам нужно найти $$BD$$. В прямоугольном треугольнике CDB:

$$\tan(\angle B) = \frac{CD}{BD}$$

$$\tan(30°) = \frac{x}{BD}$$

$$\frac{1}{\cdot \sqrt{3}} = \frac{x}{BD}$$

$$BD = x \cdot \sqrt{3}$$.

Подставим $$CD^2$$ и $$BD$$ в теорему:

$$x^2 = AD \cdot (x \cdot \sqrt{3})$$

$$x^2 = AD \cdot x \cdot \sqrt{3}$$

Разделим обе части на $$x$$ (так как $$x \neq 0$$):

$$x = AD \cdot \sqrt{3}$$

$$AD = \frac{x}{\cdot \sqrt{3}}$$

Шаг 7: Сравнение AD и BD

Мы получили $$AD = \frac{x}{\cdot \sqrt{3}}$$ и $$BD = x \cdot \sqrt{3}$$.

Теперь проверим, выполняется ли условие $$AD = \frac{1}{3}BD$$:

$$\frac{x}{\cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3} (x \cdot \sqrt{3})$$

$$\frac{x}{\cdot \sqrt{3}} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3}$$

$$\frac{x}{\cdot \sqrt{3}} = \frac{x}{\cdot \sqrt{3}}$$

Равенство выполняется.

Таким образом, мы доказали, что $$AD = \frac{1}{3}BD$$.