5. По кругу стоят 36 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что в каждой тройке подряд идущих чисел есть число, большее суммы двух других. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 36 чисел?

Пусть числа по кругу равны \(a_1,a_2,\ldots,a_{36}\). В каждой тройке подряд идущих чисел одно больше суммы двух других. Так как числа натуральные, это число не меньше 3.

Рассмотрим тройки с нечётными номерами: \((a_1,a_2,a_3), (a_3,a_4,a_5),\ldots,(a_{35},a_{36},a_1)\). В каждой такой тройке хотя бы одно число не меньше 3. Эти тройки покрывают все 36 чисел, причём каждое число встречается не более чем в двух тройках. Поэтому сумма всех чисел не может быть меньше \(36\).

Значение 36 достигается, например, последовательностью, составленной из повторяющегося блока \(3,1,1\): в каждой тройке подряд встречается тройка \(3,1,1\), и выполняется условие \(3>1+1\). Для 36 чисел можно взять 12 таких блоков.

Ответ: 36.