5. Постройте график функции y = x⁴ – 2x².

Для построения графика функции y = x⁴ – 2x², выполним следующие шаги:

1. Находим точки пересечения с осями:
   • С осью Y: подставим x = 0. Получим y = 0⁴ – 2(0)² = 0. Точка (0, 0).
   • С осью X: приравняем y к 0. x⁴ – 2x² = 0. Вынесем x² за скобки: x²(x² – 2) = 0. Это дает x² = 0 (x = 0) или x² = 2 (x = ±√2). Точки (√2, 0) и (-√2, 0).
2. Находим производную для определения монотонности и экстремумов:

   y' = (x⁴ – 2x²)′ = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1) = 4x(x-1)(x+1).

3. Находим критические точки: Приравниваем производную к нулю: 4x(x-1)(x+1) = 0. Критические точки: x = 0, x = 1, x = -1.
4. Определяем интервалы монотонности и знаки производной:
   • При x < -1, например, x = -2: y' = 4(-2)((-2)²-1) = -8(3) = -24 (функция убывает).
   • При -1 < x < 0, например, x = -0.5: y' = 4(-0.5)((-0.5)²-1) = -2(0.25-1) = -2(-0.75) = 1.5 (функция возрастает).
   • При 0 < x < 1, например, x = 0.5: y' = 4(0.5)((0.5)²-1) = 2(0.25-1) = 2(-0.75) = -1.5 (функция убывает).
   • При x > 1, например, x = 2: y' = 4(2)(2²-1) = 8(3) = 24 (функция возрастает).
5. Находим точки экстремума:
   • В точке x = -1: функция меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. y(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² = 1 - 2(1) = -1. Точка минимума (-1, -1).
   • В точке x = 0: функция меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. y(0) = 0. Точка максимума (0, 0).
   • В точке x = 1: функция меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. y(1) = (1)⁴ - 2(1)² = 1 - 2(1) = -1. Точка минимума (1, -1).
6. Симметрия: Функция является четной, так как y(-x) = (-x)⁴ - 2(-x)² = x⁴ - 2x² = y(x). График симметричен относительно оси Y.
7. Построение графика: Используя найденные точки и информацию о монотонности, строим график.

Ответ: График функции y = x⁴ – 2x²