№5. Постройте график функции y = (x+4)/(x-2). Найдите: а) D(y); б) E(y); в) нули функции; г) промежутки знакопостоянства; д) координаты точек с целочисленными координатами.

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{x+4}{x-2} \) выполним следующие шаги:

1. Анализ функции:
• Это дробно-линейная функция. График — гипербола.
• Область определения (D(y)): Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: \( x-2 = 0 \) => \( x = 2 \). Таким образом, \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
• Вертикальная асимптота: \( x = 2 \).
• Горизонтальная асимптота: Найдем предел функции при \( x \to \pm\infty \): \( \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x+4}{x-2} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1 + 4/x}{1 - 2/x} = 1 \). Горизонтальная асимптота \( y = 1 \).
• Нули функции: Функция равна нулю, когда числитель равен нулю: \( x+4 = 0 \) => \( x = -4 \). Точка пересечения с осью Ox: (-4; 0).
• Пересечение с осью Oy: Подставим \( x=0 \): \( y = \frac{0+4}{0-2} = \frac{4}{-2} = -2 \). Точка пересечения с осью Oy: (0; -2).
• Промежутки знакопостоянства:
  • \( y > 0 \) при \( \frac{x+4}{x-2} > 0 \). Это выполняется, когда \( x < -4 \) или \( x > 2 \).
  • \( y < 0 \) при \( \frac{x+4}{x-2} < 0 \). Это выполняется, когда \( -4 < x < 2 \).
• Координаты точек с целочисленными координатами:
  • x = -4, y = 0
  • x = 0, y = -2
  • x = 1, y = (1+4)/(1-2) = 5/(-1) = -5. Точка (1; -5).
  • x = 3, y = (3+4)/(3-2) = 7/1 = 7. Точка (3; 7).
  • x = 4, y = (4+4)/(4-2) = 8/2 = 4. Точка (4; 4).
  • x = 6, y = (6+4)/(6-2) = 10/4 = 2.5 (нецелочисленная)
  • x = -1, y = (-1+4)/(-1-2) = 3/(-3) = -1. Точка (-1; -1).
  • x = -2, y = (-2+4)/(-2-2) = 2/(-4) = -0.5 (нецелочисленная)
  • x = -6, y = (-6+4)/(-6-2) = -2/(-8) = 0.25 (нецелочисленная)
2. Область значений (E(y)): Все действительные числа, кроме значения горизонтальной асимптоты. \( E(y) = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

График функции:

Ответ:

• а) Область определения (D(y)): \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
• б) Область значений (E(y)): \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
• в) Нули функции: \( x = -4 \)
• г) Промежутки знакопостоянства:
  • \( y > 0 \) на \( (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \)
  • \( y < 0 \) на \( (-4; 2) \)
• д) Координаты точек с целочисленными координатами: \( (-4; 0), (0; -2), (1; -5), (3; 7), (4; 4), (-1; -1) \)