5. Постройте график функции y = (x² - 5x + 6)(x² - 5x + 4) / (x² - 4x + 3) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Чтобы построить график рациональной функции и определить, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку, необходимо сначала упростить выражение функции, найти ее область определения, определить вертикальные и горизонтальные асимптоты, точки пересечения с осями, нули функции, а затем проанализировать поведение функции на интервалах и найти значения m, при которых выполняется условие.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощение функции

   Разложим числитель и знаменатель на множители:

   Числитель:

   x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

   x² - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)

   Знаменатель:

   x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

   Теперь подставим разложенные множители в функцию:

   \[ y = \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x - 4)}{(x - 1)(x - 3)} \)

   Сократим общие множители (при условии, что x ≠ 1 и x ≠ 3):

   \[ y = (x - 2)(x - 4) \)

   \[ y = x^2 - 4x - 2x + 8 \)

   \[ y = x^2 - 6x + 8 \)

   Таким образом, график функции будет представлять собой параболу y = x² - 6x + 8, но с исключенными точками при x = 1 и x = 3.

2. Шаг 2: Нахождение исключенных точек

   Найдем значения функции в исключенных точках:

   При x = 1:

   \[ y = (1 - 2)(1 - 4) = (-1)(-3) = 3 \)

   Таким образом, точка (1, 3) выколота.

   При x = 3:

   \[ y = (3 - 2)(3 - 4) = (1)(-1) = -1 \)

   Таким образом, точка (3, -1) выколота.

3. Шаг 3: Построение графика

   График функции y = x² - 6x + 8 — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

   \[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \)

   \[ y_в = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \)

   Вершина параболы находится в точке (3, -1). Однако, эта точка выколота на графике функции, поэтому у графика будет разрыв в этой точке.

   Пересечение с осью y (x = 0):

   \[ y = 0^2 - 6(0) + 8 = 8 \)

   Точка пересечения с осью y: (0, 8).

   Пересечение с осью x (y = 0):

   \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \)

   Используя формулу корней квадратного уравнения или разложение на множители:

   \[ (x - 2)(x - 4) = 0 \)

   \[ x_1 = 2, x_2 = 4 \)

   Точки пересечения с осью x: (2, 0) и (4, 0).

   График представляет собой параболу y = x² - 6x + 8 с выколотыми точками (1, 3) и (3, -1). Поскольку вершина параболы (3, -1) выколота, график функции будет иметь разрыв в этой точке. Наличие выколотых точек может влиять на количество пересечений с прямой y = m.

4. Шаг 4: Определение значений m, при которых прямая y = m имеет ровно одну общую точку

   Рассмотрим поведение прямой y = m относительно графика параболы с учетом выколотых точек:

   1. m = -1: Прямая y = -1 проходит через выколотую точку (3, -1). Поскольку эта точка не принадлежит графику, прямая y = -1 не имеет общих точек с графиком функции.

   2. m = 3: Прямая y = 3 проходит через выколотую точку (1, 3). Поскольку эта точка не принадлежит графику, прямая y = 3 будет иметь одну общую точку с графиком функции (второе решение уравнения x² - 6x + 8 = 3, которое не равно 1).

   3. m = y_вершины параболы, но вершина не выколота: Вершина параболы (3, -1) выколота, поэтому случай, когда прямая проходит через вершину, не дает одну общую точку.

   4. m = значение функции в выколотой точке, которая не является вершиной: Мы уже рассмотрели случай m = 3 (точка (1, 3) выколота). На графике параболы y = x² - 6x + 8, прямая y = 3 пересекает параболу в двух точках. Одна из них — выколотая точка (1, 3). Другая точка будет являться решением уравнения x² - 6x + 8 = 3, то есть x² - 6x + 5 = 0, что дает (x - 1)(x - 5) = 0, то есть x = 1 (выколотая точка) и x = 5. Следовательно, прямая y = 3 имеет одну общую точку с графиком функции, это точка с абсциссой x = 5.

   5. m = значение, соответствующее оси симметрии параболы, если бы эта точка не была выколота: Ось симметрии параболы x = 3. Значение функции в этой точке y = -1, что является минимумом функции. Но эта точка выколота.

   6. m = значение, при котором дискриминант уравнения y = x² - 6x + 8 равен нулю. Для параболы y = x² - 6x + 8, дискриминант равен 0 при вершине, но она выколота.

   7. m = значение, которое будет иметь только одно решение после учета выколотых точек.

   Прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда:

   а) прямая проходит через одну из выколотых точек, и эта точка является единственным пересечением этой прямой с параболой, если бы она не была выколота.

   б) прямая является касательной к параболе.

   Рассмотрим случай, когда прямая y = m пересекает параболу y = x² - 6x + 8 в одной точке. Это происходит, когда дискриминант квадратного уравнения x² - 6x + (8 - m) = 0 равен нулю:

   \[ D = (-6)^2 - 4(1)(8 - m) = 36 - 32 + 4m = 4 + 4m \)

   \[ 4 + 4m = 0 \implies m = -1 \)

   При m = -1, уравнение имеет один корень x = 3. Однако, точка (3, -1) выколота. Следовательно, прямая y = -1 не имеет общих точек с графиком.

   Теперь рассмотрим, когда прямая y = m будет иметь ровно одну точку пересечения с учетом выколотых точек (1, 3) и (3, -1).

   Если m = 3, мы решаем x² - 6x + 8 = 3, что дает x² - 6x + 5 = 0. Корни: x = 1 (выколотая точка) и x = 5. Таким образом, при m = 3, прямая y = 3 имеет ровно одну общую точку с графиком (x=5).

   Если m = -1, мы решаем x² - 6x + 8 = -1, что дает x² - 6x + 9 = 0. Корень: x = 3 (выколотая точка). Таким образом, при m = -1, прямая y = -1 не имеет общих точек с графиком.

   Для того чтобы прямая y = m имела ровно одну общую точку с графиком, значение m должно быть таким, что уравнение x² - 6x + 8 = m имеет либо один корень (который не является выколотой точкой), либо два корня, один из которых является выколотой точкой, а другой — нет.

   Мы уже выяснили, что при m = 3, одно решение (x=1) является выколотой точкой, а другое (x=5) — нет. Следовательно, m = 3 — одно из искомых значений.

   Рассмотрим случай, когда прямая y = m проходит через вершину параболы, но вершина выколота. Здесь вершина (3, -1) выколота, поэтому m = -1 не дает ни одной точки.

   Таким образом, прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком, когда m = 3.

   Дополнительный анализ:

   График функции — парабола y = x² - 6x + 8 с выколотыми точками (1, 3) и (3, -1).

   Если m < -1, прямая y = m не пересекает параболу.

   Если m = -1, прямая y = -1 проходит через выколотую точку (3, -1) и не имеет других пересечений с параболой. То есть, 0 общих точек.

   Если -1 < m < 3, прямая y = m пересекает параболу в двух точках.

   Если m = 3, прямая y = 3 проходит через выколотую точку (1, 3) и пересекает параболу в точке x = 5. Следовательно, 1 общая точка.

   Если m > 3, прямая y = m пересекает параболу в двух точках.

   Единственное значение m, при котором прямая y = m имеет ровно одну общую точку с графиком, это m = 3.

Ответ:

График функции — это парабола y = x² - 6x + 8 с выколотыми точками (1, 3) и (3, -1).

Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = 3.