5. Постройте график y = x(x-3) для -1 \(≤\) x \(≤\) 4.

Решение:

Функция \( y = x(x-3) = x^2 - 3x \) — это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительный).

Найдем вершину параболы:

• Координата \( x_0 \) вершины: \( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \).
• Координата \( y_0 \) вершины: \( y_0 = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25 \).

Найдем точки пересечения с осями:

• С осью \( Ox \) (при \( y = 0 \)): \( x(x-3) = 0 \) \( \Rightarrow x=0 \) или \( x=3 \). Точки: \( (0; 0) \) и \( (3; 0) \).
• С осью \( Oy \) (при \( x = 0 \)): \( y = 0(0-3) = 0 \). Точка: \( (0; 0) \).

Найдем значения функции на концах заданного интервала:

• При \( x = -1 \): \( y = (-1)(-1-3) = (-1)(-4) = 4 \). Точка: \( (-1; 4) \).
• При \( x = 4 \): \( y = 4(4-3) = 4(1) = 4 \). Точка: \( (4; 4) \).

Ответ: График функции \( y = x(x-3) \) — парабола с вершиной в точке \( (1.5; -2.25) \), пересекающая ось \( Ox \) в точках \( (0; 0) \) и \( (3; 0) \). На интервале \( [-1; 4] \) значения функции изменяются от \( -2.25 \) до \( 4 \).