5. Постройте на координатной плоскости а) точки М, F, E, K, если М(-3; 0), F(4; 6), E(0; -4); K(-3; 5). б) Определите координату точки пересечения прямых MF и KE.

5. Построение точек и определение точки пересечения:

а) Построение точек:

Отметим точки на координатной плоскости:

• M(-3; 0)
• F(4; 6)
• E(0; -4)
• K(-3; 5)

б) Определение точки пересечения прямых MF и KE:

Сначала найдём уравнения прямых MF и KE.

Прямая MF:
Точки: M(-3; 0), F(4; 6).
Уравнение прямой имеет вид \( y = ax + b \).
Подставим координаты точек:
\( 0 = a(-3) + b \) => \( -3a + b = 0 \) => \( b = 3a \)
\( 6 = a(4) + b \) => \( 4a + b = 6 \)
Подставим \( b = 3a \) во второе уравнение:
\( 4a + 3a = 6 \) => \( 7a = 6 \) => \( a = \frac{6}{7} \)
Тогда \( b = 3 \cdot \frac{6}{7} = \frac{18}{7} \)
Уравнение прямой MF: \( y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} \).

Прямая KE:
Точки: K(-3; 5), E(0; -4).
Уравнение прямой имеет вид \( y = ax + b \).
Подставим координаты точек:
\( 5 = a(-3) + b \) => \( -3a + b = 5 \)
\( -4 = a(0) + b \) => \( b = -4 \)
Подставим \( b = -4 \) в первое уравнение:
\( -3a - 4 = 5 \) => \( -3a = 9 \) => \( a = -3 \)
Уравнение прямой KE: \( y = -3x - 4 \).

Найдём точку пересечения:
Приравняем уравнения прямых:
\( \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -3x - 4 \)
Умножим обе части на 7:
\( 6x + 18 = -21x - 28 \)
\( 6x + 21x = -28 - 18 \)
\( 27x = -46 \)
\( x = -\frac{46}{27} \)
Теперь найдём y, подставив x в уравнение прямой KE:
\( y = -3 \cdot (-\frac{46}{27}) - 4 = \frac{3 \cdot 46}{27} - 4 = \frac{46}{9} - 4 = \frac{46 - 36}{9} = \frac{10}{9} \)
Точка пересечения: \( (-\frac{46}{27}; \frac{10}{9}) \).

Ответ: Координаты точки пересечения прямых MF и KE: \( (-\frac{46}{27}; \frac{10}{9}) \).