5. Постройте на координатной плоскости а) точки M, F, Е, К, если М(-3; 0), F(4; 6), E(0; -4); K(-3; 5). б) Определите координату точки пересечения прямых MF и KE.

Решение:

а) Построение точек на координатной плоскости:

Отметим точки согласно их координатам:

• M(-3; 0)
• F(4; 6)
• E(0; -4)
• K(-3; 5)

б) Нахождение точки пересечения прямых MF и KE:

Сначала найдём уравнения прямых MF и KE.

1. Уравнение прямой MF:

Координаты точек M(-3; 0) и F(4; 6).

Угловой коэффициент \( k_{MF} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{4 - (-3)} = \frac{6}{7} \).

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_1 = k(x - x_1) \).

Используем точку M(-3; 0):

\( y - 0 = \frac{6}{7}(x - (-3)) \)

\( y = \frac{6}{7}(x + 3) \)

\( y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} \)

2. Уравнение прямой KE:

Координаты точек K(-3; 5) и E(0; -4).

Угловой коэффициент \( k_{KE} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 5}{0 - (-3)} = \frac{-9}{3} = -3 \).

Используем точку E(0; -4) (точка пересечения с осью Y, поэтому b = -4):

\( y = -3x - 4 \)

3. Находим точку пересечения прямых:

Приравниваем уравнения прямых:

\( \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -3x - 4 \)

Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дроби:

\( 6x + 18 = -21x - 28 \)

Перенесём члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\( 6x + 21x = -28 - 18 \)

\( 27x = -46 \)

\( x = -\frac{46}{27} \)

Теперь найдём y, подставив x в уравнение прямой KE:

\( y = -3(-\frac{46}{27}) - 4 \)

\( y = \frac{3 \cdot 46}{27} - 4 \)

\( y = \frac{46}{9} - \frac{36}{9} \)

\( y = \frac{10}{9} \)

Координаты точки пересечения: \( (-\frac{46}{27}; \frac{10}{9}) \).

Ответ: Координаты точки пересечения прямых MF и KE равны \( (-\frac{46}{27}; \frac{10}{9}) \).