5. Постройте на координатной плоскости точки А, В, С, Д, если А(-3; 7), B(6;-2), C(7;3); D(-3; -2), определите координату точки пересечения отрезка АВ и луча DC (2 балла)

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить точки на координатной плоскости и найти уравнения прямых, содержащих отрезок AB и луч DC, чтобы определить точку их пересечения.

1. Построение точек:

Отмечаем на плоскости:

• A(-3; 7)
• B(6; -2)
• C(7; 3)
• D(-3; -2)

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

Общий вид уравнения прямой: \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки A:

\( 7 = k(-3) + b \) (1)

Подставим координаты точки B:

\( -2 = k(6) + b \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( -2 - 7 = (6k - (-3k)) + (b - b) \)

\( -9 = 9k \)

\( k = -1 \)

Подставим \( k = -1 \) в уравнение (1):

\( 7 = (-1)(-3) + b \)

\( 7 = 3 + b \)

\( b = 4 \)

Уравнение прямой AB: \( y = -x + 4 \).

3. Уравнение прямой, проходящей через точки D и C:

Подставим координаты точки D:

\( -2 = k(-3) + b \) (3)

Подставим координаты точки C:

\( 3 = k(7) + b \) (4)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\( 3 - (-2) = (7k - (-3k)) + (b - b) \)

\( 5 = 10k \)

\( k = \frac{5}{10} = 0.5 \)

Подставим \( k = 0.5 \) в уравнение (3):

\( -2 = (0.5)(-3) + b \)

\( -2 = -1.5 + b \)

\( b = -0.5 \)

Уравнение прямой DC: \( y = 0.5x - 0.5 \).

4. Нахождение точки пересечения:

Приравняем уравнения прямых AB и DC:

\( -x + 4 = 0.5x - 0.5 \)

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа — в другую:

\( 4 + 0.5 = 0.5x + x \)

\( 4.5 = 1.5x \)

\( x = \frac{4.5}{1.5} = 3 \)

Найдем координату y, подставив \( x = 3 \) в уравнение прямой AB:

\( y = -3 + 4 = 1 \)

Точка пересечения прямых AB и DC имеет координаты (3; 1). Теперь проверим, принадлежит ли эта точка лучу DC. Луч DC начинается в точке D(-3; -2) и идет через точку C(7; 3). Точка пересечения (3; 1) лежит между D и C, так как её x-координата (3) находится между x-координатами D (-3) и C (7), и её y-координата (1) находится между y-координатами D (-2) и C (3). Следовательно, точка (3; 1) принадлежит лучу DC.

Ответ: Координаты точки пересечения отрезка АВ и луча DC: (3; 1).