5. Постройте прямоугольник (единичный отрезок равен 1 см) с вершинами в точках А(1; 2), B(4; 2), C(4; 0). Найдите координаты точки D, если известно, что это четвертая вершина прямоугольника. Вычислить периметр и площадь прямоугольника.

Решение:

Даны точки прямоугольника А(1; 2), B(4; 2), C(4; 0).

1. Найдём координаты точки D.
Стороны AB и BC перпендикулярны, так как AB параллельна оси X (y-координаты одинаковые), а BC параллельна оси Y (x-координаты одинаковые).

Для того чтобы ABCD был прямоугольником, сторона AD должна быть параллельна BC, а CD — параллельна AB.

Чтобы AD была параллельна BC, x-координаты точек A и D должны быть одинаковыми. Значит, \( x_D = x_A = 1 \).

Чтобы CD была параллельна AB, y-координаты точек C и D должны быть одинаковыми. Значит, \( y_D = y_C = 0 \).

Таким образом, координаты точки D: (1; 0).

2. Вычислим периметр и площадь.
Длина стороны AB (и CD): \( |4 - 1| = 3 \) см.
Длина стороны BC (и AD): \( |2 - 0| = 2 \) см.

Периметр прямоугольника \( P = 2(AB + BC) \):

\( P = 2(3 + 2) \)
\( P = 2(5) \)
\( P = 10 \) см.

Площадь прямоугольника \( S = AB \times BC \):

\( S = 3 \times 2 \)
\( S = 6 \) см².