5. Постройте в одной системе координат графики функций y = 4/x и y = √x, используя их, решите уравнение 4/x = √x

Решение:

Для решения задания построим графики двух функций в одной системе координат: \( y = \frac{4}{x} \) и \( y = \sqrt{x} \).

1. График функции \( y = \frac{4}{x} \)

Это гипербола. Она находится в I и III четвертях. Для построения возьмём несколько точек:

• Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{4}{1} = 4 \). Точка (1; 4).
• Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{4}{2} = 2 \). Точка (2; 2).
• Если \( x = 4 \), то \( y = \frac{4}{4} = 1 \). Точка (4; 1).
• Если \( x = -1 \), то \( y = \frac{4}{-1} = -4 \). Точка (-1; -4).
• Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{4}{-2} = -2 \). Точка (-2; -2).
• Если \( x = -4 \), то \( y = \frac{4}{-4} = -1 \). Точка (-4; -1).

2. График функции \( y = \sqrt{x} \)

Это ветвь параболы, лежащая в I четверти. Область определения: \( x \ge 0 \).

• Если \( x = 0 \), то \( y = \sqrt{0} = 0 \). Точка (0; 0).
• Если \( x = 1 \), то \( y = \sqrt{1} = 1 \). Точка (1; 1).
• Если \( x = 4 \), то \( y = \sqrt{4} = 2 \). Точка (4; 2).
• Если \( x = 9 \), то \( y = \sqrt{9} = 3 \). Точка (9; 3).

3. Решение уравнения \( \frac{4}{x} = \sqrt{x} \)

Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков функций \( y = \frac{4}{x} \) и \( y = \sqrt{x} \).

Из графика видно, что точки пересечения нет. Но если мы построим график более точно, то увидим, что эти графики не пересекаются.

Перепишем уравнение, чтобы решить его алгебраически:

\( \frac{4}{x} = \sqrt{x} \)

Умножим обе части на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):

\( 4 = x \sqrt{x} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( 4^2 = (x \sqrt{x})^2 \)

\( 16 = x^2 \cdot x \)

\( 16 = x^3 \)

\( x = \sqrt[3]{16} \)

\( x = \sqrt[3]{8 \cdot 2} \)

\( x = 2 \sqrt[3]{2} \)

Подставим полученное значение \( x \) в уравнение \( y = \sqrt{x} \):

\( y = \sqrt{2 \sqrt[3]{2}} \)

Для проверки подставим \( x = 2 \sqrt[3]{2} \) в уравнение \( y = \frac{4}{x} \):

\( y = \frac{4}{2 \sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{4}}{2} = \sqrt[3]{4} \)

Проверим, равны ли значения \( y \):

\( \sqrt{2 \sqrt[3]{2}} \) и \( \sqrt[3]{4} \)

Возведём оба выражения в 6-ю степень:

\( (\sqrt{2 \sqrt[3]{2}})^6 = (2 \cdot 2^{1/3})^{3} = 2^3 \cdot (2^{1/3})^3 = 8 \cdot 2 = 16 \)

\( (\sqrt[3]{4})^6 = (4^{1/3})^6 = 4^2 = 16 \)

Значения \( y \) равны. Следовательно, \( x = 2 \sqrt[3]{2} \) является решением уравнения.

Ответ: \( x = 2\sqrt[3]{2} \).