5. Представь, что у тебя есть 6 друзей, и каждый из них может быть знаком с некоторыми другими друзьями. Можно ли построить граф, где вершины соответствуют людям, а ребра — знакомствам, чтобы у каждого человека было ровно 3 знакомых? Почему да или почему нет? Как это связано с суммой степеней вершин?

Да, можно. Например, разделим шесть друзей на две группы по три человека и проведём ребро между каждым человеком из первой группы и каждым человеком из второй. Тогда у каждого будет ровно по три знакомых.

Степень каждой вершины равна 3, поэтому сумма степеней вершин равна \(6\cdot3=18\). Каждое ребро учитывается в степенях двух своих концов, значит сумма степеней равна удвоенному числу рёбер. Здесь рёбер \(18:2=9\), что совпадает с рисунком.

Ответ: да; пример — граф, в котором каждая вершина одной группы соединена со всеми вершинами другой группы.