Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5.* Представьте в виде дроби: \(\left(1-\frac{9}{x^3+1}\right):\left(\frac{x-1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}\right)\).Фото задания

Ответ:

Преобразуем обе скобки, учитывая разложение \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\).

  1. Первая скобка: \(1-\frac{9}{x^3+1}=\frac{x^3+1-9}{x^3+1}=\frac{x^3-8}{x^3+1}\).
  2. Во второй скобке приведём дроби к общему знаменателю: \(\frac{x-1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)-(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}\). Числитель равен \(x^2-1-x^2+x-1=x-2\), поэтому скобка равна \(\frac{x-2}{x^3+1}\).
  3. Разделим первую дробь на вторую: \(\frac{x^3-8}{x^3+1}:\frac{x-2}{x^3+1}=\frac{x^3-8}{x-2}\).
  4. Разложим разность кубов: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\). После сокращения получаем \(x^2+2x+4\).

Исходное выражение определено при \(x\ne-1\), \(x^2-x+1\ne0\) и при ненулевой второй скобке, то есть также \(x\ne2\). Для действительных \(x\), квадратичный знаменатель \(x^2-x+1\) всегда положителен.

Ответ: \(x^2+2x+4\), где \(x\ne-1,2\).