5. Преобразуйте следующие выражения: 1) sin²α + cos²α − cos²β; 2) tg x ctg x − cos² 3α; 3) tg² 5β + tg t ctg t; 4) (1 − sin² 3α) tg² 3α; 5) ctg²β(cos²β − 1) + 1; 6) 1 + cos²γ − sin²γ; 7) 1 − sin α cos α ctg α; 8) (tg β cos β)² + (ctg β sin β)²; 9) 2 − cos²φ tg²φ − cos²φ; 10) 1/cos²α − tg²α − cos²α; 11) 1/cos²α − (sin²α + cos²α − ctg²α); 12) cos²α + cos²α ctg²α; 13) sin⁴α + cos²α − cos⁴α; 14) sin⁴β + sin²β cos²β + cos²β; 15) tg²φ − sin²φ − tg²φ sin²φ; 16) (ctg²α − cos²α) tg²α; 17) ctg²γ (1 − cos γ)(1 + cos γ); 18) (tg x − 1)² − 1/cos²x; 19) 1/sin²x − (ctg x + 1)²; 20) (1 − cos² 7y)/cos² 7y; 21) (1 − sin² 7α)/(1 − cos² 7α) + tg(π/9) ctg(π/9); 22) sin²x/(cos 0 + cos x); 23) (tg γ − cos²γ)/(sin²γ − 1).

Question

Вопрос:

Фото задания

5. Преобразуйте следующие выражения: 1) sin²α + cos²α − cos²β; 2) tg x ctg x − cos² 3α; 3) tg² 5β + tg t ctg t; 4) (1 − sin² 3α) tg² 3α; 5) ctg²β(cos²β − 1) + 1; 6) 1 + cos²γ − sin²γ; 7) 1 − sin α cos α ctg α; 8) (tg β cos β)² + (ctg β sin β)²; 9) 2 − cos²φ tg²φ − cos²φ; 10) 1/cos²α − tg²α − cos²α; 11) 1/cos²α − (sin²α + cos²α − ctg²α); 12) cos²α + cos²α ctg²α; 13) sin⁴α + cos²α − cos⁴α; 14) sin⁴β + sin²β cos²β + cos²β; 15) tg²φ − sin²φ − tg²φ sin²φ; 16) (ctg²α − cos²α) tg²α; 17) ctg²γ (1 − cos γ)(1 + cos γ); 18) (tg x − 1)² − 1/cos²x; 19) 1/sin²x − (ctg x + 1)²; 20) (1 − cos² 7y)/cos² 7y; 21) (1 − sin² 7α)/(1 − cos² 7α) + tg(π/9) ctg(π/9); 22) sin²x/(cos 0 + cos x); 23) (tg γ − cos²γ)/(sin²γ − 1).

Accepted Answer

По основному тождеству: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\cos^2\beta=1-\cos^2\beta=\sin^2\beta\).
Так как \( g x\ctg x=1\), получаем \(1-\cos^2 3\alpha=\sin^2 3\alpha\).
Так как \( g t\ctg t=1\) и \(1+ g^2 5\beta=1/\cos^2 5\beta\), результат: \(1/\cos^2 5\beta\).
\((1-\sin^2 3\alpha) g^2 3\alpha=\cos^2 3\alpha\cdot\sin^2 3\alpha/\cos^2 3\alpha=\sin^2 3\alpha\).
\(\ctg^2\beta(\cos^2\beta-1)+1=-\ctg^2\beta\sin^2\beta+1=1-\cos^2\beta=\sin^2\beta\).
\(1+\cos^2\gamma-\sin^2\gamma=2\cos^2\gamma\).
\(1-\sin\alpha\cos\alpha\ctg\alpha=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).
\(( g\beta\cos\beta)^2+(\ctg\beta\sin\beta)^2=\sin^2\beta+\cos^2\beta=1\).
\(2-\cos^2\varphi g^2\varphi-\cos^2\varphi=2-\sin^2\varphi-\cos^2\varphi=1\).
\(1/\cos^2\alpha- g^2\alpha-\cos^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).
\(1/\cos^2\alpha-(1-\ctg^2\alpha)= g^2\alpha+\ctg^2\alpha\).
\(\cos^2\alpha(1+\ctg^2\alpha)=\cos^2\alpha/\sin^2\alpha=\ctg^2\alpha\).
\(\sin^4\alpha+\cos^2\alpha(1-\cos^2\alpha)=\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).
\(\sin^2\beta(\sin^2\beta+\cos^2\beta)+\cos^2\beta=1\).
\( g^2\varphi(1-\sin^2\varphi)-\sin^2\varphi= g^2\varphi\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=0\).
\((\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha) g^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).
\(\ctg^2\gamma(1-\cos^2\gamma)=\ctg^2\gamma\sin^2\gamma=\cos^2\gamma\).
\(( g x-1)^2-1/\cos^2x= g^2x-2 g x+1-( g^2x+1)=-2 g x\).
\(1/\sin^2x-(\ctg x+1)^2=(\ctg^2x+1)-(\ctg^2x+2\ctg x+1)=-2\ctg x\).
\((1-\cos^2 7y)/\cos^2 7y= g^2 7y\).
\((1-\sin^2 7\alpha)/(1-\cos^2 7\alpha)+ g(\pi/9)\ctg(\pi/9)=\ctg^2 7\alpha+1=1/\sin^2 7\alpha\).
Так как \(\cos 0=1\), \(\sin^2x/(1+\cos x)=(1-\cos^2x)/(1+\cos x)=1-\cos x\).
Поскольку \(\sin^2\gamma-1=-\cos^2\gamma\), получаем \(( g\gamma-\cos^2\gamma)/(\sin^2\gamma-1)=1-\sin\gamma/\cos^3\gamma\).

Ответ: