5. При каких значениях \(a\) сумма дробей \(\frac{a-3}{a+1}\) и \(\frac{a+1}{a-2}\) равна дроби \(\frac{a^2+11}{a^2-a-2}\)?

Знаменатели должны быть ненулевыми: \(a+1\ne0\) и \(a-2\ne0\), поэтому \(a\ne-1\) и \(a\ne2\).

Так как \(a^2-a-2=(a+1)(a-2)\), приведём сумму к общему знаменателю:

\[\frac{a-3}{a+1}+\frac{a+1}{a-2}=\frac{(a-3)(a-2)+(a+1)^2}{(a+1)(a-2)}=\frac{2a^2-3a+7}{a^2-a-2}.\]

Приравниваем числители:

\[2a^2-3a+7=a^2+11,\qquad a^2-3a-4=0,\qquad (a-4)(a+1)=0.\]

Получаем кандидаты \(a=4\) и \(a=-1\). Значение \(a=-1\) запрещено, поскольку обращает знаменатель в ноль.

Ответ: \(a=4\).