5. При каких значениях параметров a и b многочлен f(x) = 5x⁴ + 30x³ + 11x² + ax + b делится без остатка на многочлен g(x) = 5x² + 10x + 6?

При делении на g(x) можно использовать равенство 5x² + 10x + 6 = 0, то есть x² = −2x − 6.

Последовательно получаем:

x³ = x · x² = −2x² − 6x = −2(−2x − 6) − 6x = −2x + 12.

x⁴ = x · x³ = −2x² + 12x = −2(−2x − 6) + 12x = 16x + 12.

Подставим эти выражения в f(x):

f(x) = 5(16x + 12) + 30(−2x + 12) + 11(−2x − 6) + ax + b = (a − 2)x + b + 354.

Чтобы деление было без остатка, остаток должен быть нулевым: a − 2 = 0 и b + 354 = 0.

Ответ: a = 2, b = −354.