5. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна её энергии покоя? Ответ выразите через скорость света с.

Решение:

Кинетическая энергия частицы \( E_k \) связана с полной энергией \( E \) и энергией покоя \( E_0 \) соотношением:

\( E = E_0 + E_k \).

По условию \( E_k = E_0 \), следовательно, \( E = E_0 + E_0 = 2E_0 \).

Релятивистская полная энергия частицы выражается как:

\( E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \), где \( m_0 \) — масса покоя, \( c \) — скорость света, \( v \) — скорость частицы.

Энергия покоя \( E_0 = m_0 c^2 \).

Подставим \( E = 2E_0 \) в формулу для полной энергии:

\( 2E_0 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \).

Подставим \( E_0 = m_0 c^2 \):

\( 2 m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \).

Разделим обе части на \( m_0 c^2 \):

\( 2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \).

Возведём обе части в квадрат:

\( 4 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \).

\( 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \).

\( \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).

\( v^2 = \frac{3}{4} c^2 \).

\( v = \sqrt{\frac{3}{4} c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} c \).

Ответ: Скорость частицы должна быть равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} c \).