Давай разберем стихотворение по строчкам и определим части речи у выделенных слов.
И — союз (соединяет однородные члены или простые предложения). В данном случае, возможно, союз, если он связывает два действия, но чаще здесь может быть и местоимение-предлог, если имеется в виду "и останутся (где?) там". Но в школьной программе чаще разбирают как союз.
останутся — глагол (обозначает действие, отвечает на вопрос "что сделают?").
на — предлог (служебная часть речи, указывает на место).
береге — имя существительное (обозначает предмет, отвечает на вопрос "на чём?").
Тридцать три — имя числительное (обозначает количество).
богатыря — имя существительное (обозначает предмет/лицо, отвечает на вопрос "кого?").
В — предлог (служебная часть речи, указывает на отношение).
чешуе — имя существительное (обозначает предмет, отвечает на вопрос "в чём?").
златой — имя прилагательное (обозначает признак предмета, отвечает на вопрос "какой?"). Историзм, старая форма прилагательного "золотой".
горя — имя существительное (обозначает предмет/явление, отвечает на вопрос "чего?").
(А. С. Пушкин) — это имя собственное (фамилия, имя, отчество писателя), в данном контексте выполняет функцию указания на автора.
Разбор по частям речи:
И (союз)
останутся (глагол)
на (предлог)
береге (имя существительное)
Тридцать три (имя числительное)
богатыря (имя существительное)
В (предлог)
чешуе (имя существительное)
златой (имя прилагательное)
горя (имя существительное)