Путники (кто?) спрятались от дождя (от чего? - родительный падеж) в сторожке (в чём? - предложный падеж) лесника (чьего? - родительный падеж).
Спрятались от дождя (от чего?).
Путники спрятались в сторожке (в чём?).
Ответ: дождя (Р. п.), сторожке (П. п.), лесника (Р. п.).