Ответ:
Я пришёл в библиотеку, взял книгу и сел за стол. — Простое предложение с однородными сказуемыми «взял» и «сел»; между ними перед одиночным союзом «и» запятая не ставится.
Я пришёл в библиотеку, когда начался дождь. — Сложное предложение: главная часть «Я пришёл в библиотеку», придаточная «когда начался дождь». Между частями ставится запятая.
