5. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АВ=12, AC=15, MN = 7. Найдите АМ.

Решение:

Привет! Эта задачка решается с помощью подобия треугольников. Давай разберемся по шагам.

1. Что нам дано?
   
   
   
   • У нас есть треугольник ABC.
   
   
   • Прямая MN параллельна стороне AC.
   
   
   • Эта прямая пересекает стороны AB в точке M и BC в точке N.
   
   
   • Длина стороны AB = 12.
   
   
   • Длина стороны AC = 15.
   
   
   • Длина отрезка MN = 7.
   
   


2. Что нужно найти?
   
   
   
   • Нам нужно найти длину отрезка AM.
   
   


3. Ключевой момент: подобие треугольников.
   

   Когда прямая (MN) параллельна одной из сторон треугольника (AC) и пересекает две другие стороны (AB и BC), то образуется новый треугольник (MBN), который подобен исходному треугольнику (ABC).

   
   

   Почему они подобны?

   
   
   
   
   • Угол B общий для обоих треугольников (угол ABC и угол MBN).
   
   
   • Угол BMN равен углу BAC, а угол BNM равен углу BCA. Это соответственные углы при параллельных прямых MN || AC и секущих AB и BC соответственно.
   
   

   Поэтому, по признаку подобия (два угла одного треугольника равны двум углам другого), треугольник MBN подобен треугольнику ABC.



4. Составляем пропорцию.
   

   Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны:

   
   

   \[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]

   
   

   Нас интересует отношение, в котором есть MN и AC, так как мы знаем их длины, и отрезок BM (или AM, который нам нужен).

   
   

   Возьмем:

   
   

   \[ \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \]



5. Подставляем известные значения.
   

   BA = 12, MN = 7, AC = 15.

   
   

   \[ \frac{BM}{12} = \frac{7}{15} \]



6. Находим длину BM.
   

   Чтобы найти BM, умножим обе части уравнения на 12:

   
   

   \[ BM = 12 \times \frac{7}{15} \]

   
   

   Сокращаем 12 и 15 на 3:

   
   

   \[ BM = 4 \times \frac{7}{5} = \frac{28}{5} = 5.6 \]



7. Находим длину AM.
   

   Мы знаем, что точка M лежит на стороне AB. Значит, AB = AM + BM.

   
   

   Чтобы найти AM, нужно из длины AB вычесть длину BM:

   
   

   \[ AM = AB - BM \]

   
   

   \[ AM = 12 - 5.6 \]

   
   

   \[ AM = 6.4 \]

Проверим себя:

Если AM = 6.4, то BM = 12 - 6.4 = 5.6. Соотношение BM/BA = 5.6/12 = 56/120 = 7/15. Это совпадает с соотношением MN/AC = 7/15. Все верно!

Ответ: 6.4