5. Рассмотрите чертёж и рассчитайте стороны равнобедренного треугольника, если BN: AN = 8:6, г периметр треугольника равен 120 дм.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• BN: AN = 8:6.
• Периметр треугольника P = 120 дм.

Решение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, BN = NC. По условию BN: AN = 8:6, что означает, что BN = 8x и AN = 6x для некоторого значения x. Так как BN = NC, то NC = 8x.

Основание треугольника AC = AN + NC = 6x + 8x = 14x.

Боковые стороны AB и BC равны. Так как BN — высота, то треугольник AB N — прямоугольный. По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AN^2 + BN^2 \]

\[ AB^2 = (6x)^2 + (8x)^2 \]

\[ AB^2 = 36x^2 + 64x^2 \]

\[ AB^2 = 100x^2 \]

\[ AB = \sqrt{100x^2} = 10x \]

Следовательно, AB = BC = 10x.

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

\[ P = AB + BC + AC \]

\[ 120 = 10x + 10x + 14x \]

\[ 120 = 34x \]

\[ x = \frac{120}{34} = \frac{60}{17} \]

Теперь найдем длины сторон:

AB = BC = 10x = 10 \cdot \frac{60}{17} = \frac{600}{17} \text{ дм}

AC = 14x = 14 \cdot \frac{60}{17} = \frac{840}{17} \text{ дм}

Проверка: \(\frac{600}{17} + \frac{600}{17} + \frac{840}{17} = \frac{1200 + 840}{17} = \frac{2040}{17} = 120\)