№5. Равнобедренный ДАВС с основанием АС описан около окружности с центром О. Окружность касается основания треугольника в точке Р и боковых сторон в точках К и М. ВК = 8 см, АК = 5 см. Найдите периметр ДАВС.

Разбираемся с последней геометрической задачей!

Задача №5

Условие: Равнобедренный $$\triangle ABC$$ с основанием $$AC$$ описан около окружности с центром $$O$$. Окружность касается основания $$AC$$ в точке $$P$$ и боковых сторон $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$K$$ и $$M$$ соответственно. $$BK = 8$$ см, $$AK = 5$$ см. Нужно найти периметр $$\triangle ABC$$.

Решение:

Давай внимательно посмотрим на условия:

• $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$. Значит, $$AB = BC$$.
• Окружность касается сторон $$AB$$ в точке $$K$$ и $$BC$$ в точке $$M$$.

Известно свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности:

Отрезки касательных от точки, внешней к окружности, до точек касания равны.

Применим это свойство к нашему треугольнику:

1. Точка А: Окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$K$$ и основания $$AC$$ в точке $$P$$. Однако, $$K$$ и $$P$$ не являются точками касания от точки $$A$$ к одной и той же окружности. $$K$$ - точка касания на $$AB$$, $$P$$ - точка касания на $$AC$$.
2. Точка B: Окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$K$$ и стороны $$BC$$ в точке $$M$$. Следовательно, отрезки $$BK$$ и $$BM$$ равны: $$BK = BM = 8$$ см.
3. Точка C: Окружность касается стороны $$BC$$ в точке $$M$$ и основания $$AC$$ в точке $$P$$. Значит, $$CM = CP$$.
4. Точка A: Окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$K$$ и основания $$AC$$ в точке $$P$$. Значит, $$AK = AP = 5$$ см.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:

• Сторона $$AB$$ состоит из отрезков $$AK$$ и $$KB$$: $$AB = AK + KB = 5$$ см $$+ 8$$ см $$= 13$$ см.
• Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$BC = AB = 13$$ см.
• Сторона $$BC$$ состоит из отрезков $$BM$$ и $$MC$$: $$BC = BM + MC$$. Мы знаем, что $$BM = BK = 8$$ см. Значит, $$13$$ см $$= 8$$ см $$+ MC$$, откуда $$MC = 13 - 8 = 5$$ см.
• Следовательно, $$CP = MC = 5$$ см.
• Основание $$AC$$ состоит из отрезков $$AP$$ и $$PC$$: $$AC = AP + PC = 5$$ см $$+ 5$$ см $$= 10$$ см.

Теперь найдем периметр $$\triangle ABC$$:

$$P = AB + BC + AC$$

$$P = 13$$ см $$+ 13$$ см $$+ 10$$ см $$= 36$$ см.

Ответ: Периметр $$\triangle ABC$$ равен 36 см.