5. Разложите на множители: а) 25a² - (a + 3)²; б) 27a³ + b³; в) 16x⁴ - 81.

Решение:

5. Разложение на множители:

1. а) \( 25a^2 - (a + 3)^2 \)
   Используем формулу разности квадратов: \( m^2 - n^2 = (m - n)(m + n) \).
   Здесь \( m = 5a \) и \( n = a + 3 \).
   \( (5a)^2 - (a + 3)^2 = (5a - (a + 3))(5a + (a + 3)) \)
   \( = (5a - a - 3)(5a + a + 3) = (4a - 3)(6a + 3) \)
   Можно вынести общий множитель 3 из второй скобки:
   \( (4a - 3) \cdot 3(2a + 1) = 3(4a - 3)(2a + 1) \)
2. б) \( 27a^3 + b^3 \)
   Используем формулу суммы кубов: \( m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2) \).
   Здесь \( m = 3a \) и \( n = b \).
   \( (3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - 3a \cdot b + b^2) \)
   \( = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2) \)
3. в) \( 16x^4 - 81 \)
   Используем формулу разности квадратов: \( m^2 - n^2 = (m - n)(m + n) \).
   \( 16x^4 - 81 = (4x^2)^2 - 9^2 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \)
   Первый множитель \( 4x^2 - 9 \) также является разностью квадратов: \( (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) \).
   Таким образом:
   \( (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)

Ответ: а) \( 3(4a - 3)(2a + 1) \); б) \( (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2) \); в) \( (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \).