5. Разложите на множители: a) 3x³y³ - 3x²y² + 9x²y; б) 2x - x² + y² + 2y.

Привет! Давай разложим эти выражения на множители. Это как будто мы ищем маленькие строительные блоки, из которых состоят наши большие числа и буквы.

Задание а)

У нас есть выражение: 3x³y³ - 3x²y² + 9x²y

1. Ищем общий множитель: Посмотри внимательно на все части выражения. Что повторяется? Видишь, что у всех есть '3', 'x' и 'y'? Еще надо посмотреть на степени. Самая маленькая степень у 'x' — это 2 (в 3x²y² и 9x²y), а у 'y' — тоже 2 (в 3x²y² и 9x²y).
2. Выносим общий множитель за скобки: Значит, общий множитель у нас будет 3x²y². Теперь делим каждую часть исходного выражения на этот множитель:
   • 3x³y³ / (3x²y²) = xy
   • -3x²y² / (3x²y²) = -1
   • 9x²y / (3x²y²) = 3/y
3. Записываем результат: Теперь мы можем записать выражение так: 3x²y²(xy - 1 + 3/y)

Задание б)

Теперь другое выражение: 2x - x² + y² + 2y

Здесь нет очевидного общего множителя для всех частей. Но можно попробовать сгруппировать! Давай попробуем сгруппировать так, чтобы получились знакомые нам формулы или что-то, что можно вынести.

1. Группируем: Попробуем собрать вместе 'x' и 'y' члены, а также квадраты. Вот так: (y² + 2y) + (2x - x²)
2. Преобразуем вторую скобку: Вынесем минус из второй скобки, чтобы она стала похожа на что-то известное. (y² + 2y) - (x² - 2x)
3. Дополняем до полного квадрата (если возможно): Посмотри на y² + 2y. Если бы было y² + 2y + 1, это было бы (y+1)². А x² - 2x? Если бы было x² - 2x + 1, это было бы (x-1)².
4. Добавляем и вычитаем недостающее: Чтобы не менять выражение, добавим и вычтем 1. (y² + 2y + 1) - 1 - (x² - 2x + 1) + 1
5. Применяем формулы квадрата суммы и разности: Теперь у нас есть: (y + 1)² - 1 - (x - 1)² + 1
6. Упрощаем: (y + 1)² - (x - 1)²
7. Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Здесь a = (y + 1) и b = (x - 1).
8. Подставляем: ((y + 1) - (x - 1)) * ((y + 1) + (x - 1))
9. Раскрываем скобки внутри: (y + 1 - x + 1) * (y + 1 + x - 1)
10. Упрощаем: (y - x + 2) * (y + x)

Ответ:

а) 3x²y²(xy - 1 + 3/y)

б) (y - x + 2)(y + x)