№5. Реши задачи и установи соответствие. А) На рисунке ABCD — вписанный четырёхугольник, диагонали AC и BD пересекаются в O; ∠AOB = 120°, AD = 10, найти x (обозначен угол при O). Б) В четырёхугольник ABCD вписана окружность; AB:BC:CD = 2:6:7, периметр ABCD = 54, найти AD. В) ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠B = 123°, ∠A = 74°, ∠D = 57°, найти ∠C. Ответы: 1) 106, 2) 9, 3) 10, 4) 74, 5) 5, 6) 3.

А) По рисунку искомый отрезок обозначен как x. Для вписанного четырёхугольника диагонали делятся точкой пересечения не в общем случае поровну, поэтому по видимым данным однозначно определить x нельзя. Однако из предложенных ответов для пункта А подходит число 106° только при трактовке искомого угла как дополнительного к углу 74°; обозначение на фотографии неразборчиво.

Б) Для четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: \(AB+CD=BC+AD\). Пусть \(AB=2k\), \(BC=6k\), \(CD=7k\), \(AD=x\). Тогда из периметра: \(2k+6k+7k+x=54\), то есть \(15k+x=54\). Из свойства касательного четырёхугольника: \(2k+7k=6k+x\), поэтому \(x=3k\). Тогда \(18k=54\), \(k=3\), \(AD=9\).

В) Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов \(180°\): \(\angle A+\angle C=180°\). Поэтому \(\angle C=180°-74°=106°\). Проверка: \(\angle B+\angle D=123°+57°=180°\).

Соответствие: А — 1, Б — 2, В — 1. В пункте А из-за неразборчивого обозначения искомой величины соответствие может быть определено только условно.

Ответ: Б — 9; В — 106°.