№ 5. Решить логарифмическое уравнение и неравенство: a) \(\\( \log_{\sqrt{2}} \sqrt{x-1} = 1\)) б) \(\\( \log_5 (x+8) \le 2\))

Решение:

1. \(\\(
   \log_{\sqrt{2}} \sqrt{x-1} = 1\)

   По определению логарифма:

   \(\\(
   \sqrt{x-1} = (\sqrt{2})^1\)

   Возведём обе части в квадрат:

   \(\\(
   x-1 = 2\)

   Решим уравнение:

   \(\\(
   x = 3\)

   Проверим условие подлогарифмического выражения: \( x-1 > 0 \), \( 3-1 = 2 > 0 \). Корень подходит.

2. \(\\(
   \log_5 (x+8) \le 2\)

   Потенцируем обе части по основанию 5 (основание больше 1, знак неравенства сохраняется):

   \(\\(
   x+8 \le 5^2\)

   \(\\(
   x+8 \le 25\)

   \(\\(
   x \le 17\)

   Также необходимо учесть условие существования логарифма: \( x+8 > 0 \), то есть \( x > -8 \).

   Объединяя условия \( x > -8 \) и \( x \le 17 \), получаем интервал.

Ответ: a) x = 3; б) -8 < x \(\\(
\le 17\))