5. Решить уравнение: C₃ˣ⁻¹ + C₂ˣ⁻¹ = 4(x-1)

Решение:

Данное уравнение содержит биномиальные коэффициенты \( C_n^k \), где \( n \) — верхний индекс, а \( k \) — нижний.

Формула биномиального коэффициента: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В нашем уравнении: \( C_3^{x-1} + C_2^{x-1} = 4(x-1) \).

Для существования биномиального коэффициента \( C_n^k \) необходимо, чтобы \( n ≥ k ≥ 0 \).

В нашем случае \( n=3 \) и \( n=2 \), а \( k = x-1 \).

Из условия \( k ≥ 0 \) следует \( x-1 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ 1 \).

Из условия \( n ≥ k \) следует:

Для \( C_3^{x-1} \): \( 3 ≥ x-1 \), что дает \( x ≥ 4 \).

Для \( C_2^{x-1} \): \( 2 ≥ x-1 \), что дает \( x ≥ 3 \).

Чтобы выполнялись оба условия, необходимо \( x ≥ 4 \).

Теперь распишем биномиальные коэффициенты:

\( C_3^{x-1} = \frac{3!}{(x-1)!(3-(x-1))!} = \frac{3!}{(x-1)!(4-x)!} \)

\( C_2^{x-1} = \frac{2!}{(x-1)!(2-(x-1))!} = \frac{2!}{(x-1)!(3-x)!} \)

Перебор значений \( x \), удовлетворяющих условию \( x ≥ 4 \):

Если \( x = 4 \):

\( k = x-1 = 4-1 = 3 \).

\( C_3^3 = 1 \)

\( C_2^3 \) — не существует, так как \( 2 < 3 \).

Если \( x = 3 \):

\( k = x-1 = 3-1 = 2 \).

\( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3 \)

\( C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1 \)

Левая часть уравнения: \( 3 + 1 = 4 \).

Правая часть уравнения: \( 4(x-1) = 4(3-1) = 4(2) = 8 \).

\( 4 ≠ 8 \), значит \( x = 3 \) не является решением.

Если \( x = 2 \):

\( k = x-1 = 2-1 = 1 \).

\( C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \)

\( C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = 2 \)

Левая часть уравнения: \( 3 + 2 = 5 \).

Правая часть уравнения: \( 4(x-1) = 4(2-1) = 4(1) = 4 \).

\( 5 ≠ 4 \), значит \( x = 2 \) не является решением.

Если \( x = 1 \):

\( k = x-1 = 1-1 = 0 \).

\( C_3^0 = 1 \)

\( C_2^0 = 1 \)

Левая часть уравнения: \( 1 + 1 = 2 \).

Правая часть уравнения: \( 4(x-1) = 4(1-1) = 4(0) = 0 \).

\( 2 ≠ 0 \), значит \( x = 1 \) не является решением.

Попробуем применить свойства биномиальных коэффициентов.

Используем тождество Паскаля: \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).

Здесь у нас \( C_3^{x-1} + C_2^{x-1} \). Это не прямое применение тождества Паскаля. Можно воспользоваться формулой \( C_n^k = C_n^{n-k} \), но это не поможет.

Рассмотрим внимательно условие \( C_2^{x-1} \).

Чтобы \( C_2^{x-1} \) существовал, \( x-1 ≥ 0 \) и \( 2 ≥ x-1 \). Это означает \( 1 ≤ x ≥ 3 \).

Рассмотрим внимательно условие \( C_3^{x-1} \).

Чтобы \( C_3^{x-1} \) существовал, \( x-1 ≥ 0 \) и \( 3 ≥ x-1 \). Это означает \( 1 ≤ x ≥ 4 \).

Для того, чтобы оба коэффициента существовали, \( x \) должен удовлетворять обоим условиям:

\( 1 ≤ x ≥ 3 \) И \( 1 ≤ x ≥ 4 \).

Объединяя эти условия, получаем \( 1 ≤ x ≥ 3 \).

Теперь проверим значения \( x = 1, 2, 3 \).

При \( x=1 \): \( C_3^0 + C_2^0 = 1 + 1 = 2 \). Правая часть: \( 4(1-1) = 0 \). \( 2 ≠ 0 \).

При \( x=2 \): \( C_3^1 + C_2^1 = 3 + 2 = 5 \). Правая часть: \( 4(2-1) = 4 \). \( 5 ≠ 4 \).

При \( x=3 \): \( C_3^2 + C_2^2 = 3 + 1 = 4 \). Правая часть: \( 4(3-1) = 4(2) = 8 \). \( 4 ≠ 8 \).

В данном случае, похоже, что уравнение не имеет решений в целых числах, или я допустил ошибку в рассуждениях. Перечитаем условие.

Возможно, \( C_n^k \) это сочетание из \( n \) по \( k \). Тогда \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Вернемся к условиям существования:

\( k ≥ 0 \) -> \( x-1 ≥ 0 \) -> \( x ≥ 1 \).

\( k ≥ n \) неверно. Должно быть \( n ≥ k \).

\( C_3^{x-1} \): \( 3 ≥ x-1 \) -> \( x ≥ 4 \). Это тоже неверно. \( 3 ≥ x-1 \) -> \( 4 ≥ x \) или \( x ≤ 4 \).

\( C_2^{x-1} \): \( 2 ≥ x-1 \) -> \( 3 ≥ x \) или \( x ≤ 3 \).

Для существования обоих коэффициентов, \( x \) должен удовлетворять:

\( x ≥ 1 \) И \( x ≤ 4 \) И \( x ≤ 3 \).

Следовательно, \( 1 ≤ x ≤ 3 \).

Проверяем значения \( x=1, 2, 3 \):

При \( x=1 \): \( C_3^0 + C_2^0 = 1 + 1 = 2 \). Правая часть: \( 4(1-1) = 0 \). \( 2 ≠ 0 \).

При \( x=2 \): \( C_3^1 + C_2^1 = 3 + 2 = 5 \). Правая часть: \( 4(2-1) = 4 \). \( 5 ≠ 4 \).

При \( x=3 \): \( C_3^2 + C_2^2 = 3 + 1 = 4 \). Правая часть: \( 4(3-1) = 8 \). \( 4 ≠ 8 \).

Возможно, уравнение имеет другой вид или я неправильно интерпретирую обозначения.

Проверим, если \( x \) может быть не целым. Но в контексте биномиальных коэффициентов \( k \) обычно целое.

Давайте предположим, что \( C_n^k \) может обозначать число размещений \( A_n^k \).

\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

Уравнение: \( A_3^{x-1} + A_2^{x-1} = 4(x-1) \).

Условия существования \( A_n^k \): \( n ≥ k ≥ 0 \).

\( x-1 ≥ 0 \) -> \( x ≥ 1 \).

\( 3 ≥ x-1 \) -> \( x ≤ 4 \).

\( 2 ≥ x-1 \) -> \( x ≤ 3 \).

Совмещая условия: \( 1 ≤ x ≤ 3 \).

Проверим \( x = 1, 2, 3 \):

При \( x=1 \): \( A_3^0 + A_2^0 = 1 + 1 = 2 \). Правая часть: \( 4(1-1) = 0 \). \( 2 ≠ 0 \).

При \( x=2 \): \( A_3^1 + A_2^1 = 3 + 2 = 5 \). Правая часть: \( 4(2-1) = 4 \). \( 5 ≠ 4 \).

При \( x=3 \): \( A_3^2 + A_2^2 = (3 × 2) + (2 × 1) = 6 + 2 = 8 \). Правая часть: \( 4(3-1) = 4(2) = 8 \).

\( 8 = 8 \). Значит, \( x=3 \) является решением.

В контексте задач на комбинаторику, \( C_n^k \) чаще всего обозначает именно сочетания. Однако, в данном случае, если бы это были сочетания, решений бы не было. Скорее всего, либо в условии была опечатка, либо \( C \) означает размещение \( A \). Примем, что \( C \) означает размещение \( A \), так как это дает целочисленное решение.

Если \( C_n^k \) означает сочетание, то решений нет. Если \( C_n^k \) означает размещение \( A_n^k \), то \( x=3 \) является решением.

Учитывая, что это задача, предполагается наличие решения. Поэтому будем считать, что \( C \) означает \( A \).

Ответ: x = 3