5. Решить уравнение: C²/_x+1 + C³/_x+1 = 7x

Решение:

Уравнение: \( \frac{C^2}{x+1} + \frac{C^3}{x+1} = 7x \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( x+1 \):

\[ \frac{C^2 + C^3}{x+1} = 7x \]

Перенесём \( 7x \) в левую часть:

\[ \frac{C^2 + C^3}{x+1} - 7x = 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{C^2 + C^3 - 7x(x+1)}{x+1} = 0 \]

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

Условие знаменателя: \( x+1 ≠ 0 \), то есть \( x ≠ -1 \).

Числитель равен нулю:

\[ C^2 + C^3 - 7x(x+1) = 0 \]

\[ C^2 + C^3 - 7x^2 - 7x = 0 \]

\[ 7x^2 + 7x - (C^2 + C^3) = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( x \). Решим его с помощью дискриминанта:

\( a = 7, b = 7, c = -(C^2 + C^3) \)

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 × 7 × (-(C^2 + C^3)) \]

\[ D = 49 + 28(C^2 + C^3) \]

\[ D = 49 + 28C^2 + 28C^3 \]

Корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b ± √ D}{2a} = \frac{-7 ± √(49 + 28C^2 + 28C^3)}{14} \]

Ответ: \( x_{1,2} = \frac{-7 ± √(49 + 28C^2 + 28C^3)}{14} \). Важно учесть, что \( x ≠ -1 \).