5. Решите неравенство: (2x - 1) / (x + 4) ≥ 0

Привет! Давай решим это дробно-рациональное неравенство методом интервалов.

Шаг 1: Найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель:

2x - 1 = 0
=>
2x = 1
=>
x = 1/2

Знаменатель:

x + 4 = 0
=>
x = -4

Важно! Знаменатель никогда не может быть равен нулю, поэтому
x = -4
— это «выколотая» точка.

Шаг 2: Отметим корни на числовой прямой.

У нас есть две точки:
-4
и
1/2
. Они разбивают числовую прямую на три интервала:

• 
  (-∞; -4)
  
• 
  (-4; 1/2)
  
• 
  (1/2; +∞)
  

Шаг 3: Определим знак дроби на каждом интервале.

Возьмем тестовую точку из каждого интервала:

• Интервал
  (-∞; -4)
  : Возьмем
  x = -5
  .
  (2*(-5) - 1) / (-5 + 4) = (-10 - 1) / (-1) = -11 / -1 = 11
  . Знак «+».
• Интервал
  (-4; 1/2)
  : Возьмем
  x = 0
  .
  (2*0 - 1) / (0 + 4) = -1 / 4
  . Знак «-».
• Интервал
  (1/2; +∞)
  : Возьмем
  x = 1
  .
  (2*1 - 1) / (1 + 4) = (2 - 1) / 5 = 1 / 5
  . Знак «+».

Шаг 4: Выберем нужные интервалы.

Нам нужно, чтобы дробь была
≥ 0
, то есть положительной или равной нулю.

Положительные интервалы:
(-∞; -4)
и
(1/2; +∞)
.

Так как неравенство нестрогое (
≥
), то числитель может быть равен нулю. Значит,
x = 1/2
включается в решение (ставим квадратную скобку).

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому
x = -4
не включается в решение (ставим круглую скобку).

Итог:

Решение неравенства:

x ∈ (-∞; -4) ∪ [1/2; +∞)

Ответ:
x ∈ (-∞; -4) ∪ [1/2; +∞)