5. Решите неравенство 3^{x+2} - 2 \(\cdot\) 3^{x} > 7.

Решение:

Для решения неравенства \( 3^{x+2} - 2 \cdot 3^x > 7 \) воспользуемся свойствами степеней. Представим \( 3^{x+2} \) как \( 3^x \cdot 3^2 \).

\( 3^x \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^x > 7 \)

\( 3^x \cdot 9 - 2 \cdot 3^x > 7 \)

Вынесем \( 3^x \) за скобки:

\( 3^x (9 - 2) > 7 \)

\( 3^x \cdot 7 > 7 \)

Разделим обе части неравенства на 7 (положительное число, знак неравенства не меняется):

\( 3^x > \frac{7}{7} \)

\( 3^x > 1 \)

Чтобы решить это неравенство, вспомним, что \( 1 = 3^0 \).

\( 3^x > 3^0 \)

Так как основание степени \( 3 \) больше 1, функция \( y = 3^x \) является возрастающей. Следовательно, из \( 3^x > 3^0 \) следует, что \( x > 0 \).

Ответ: x > 0