5. Решите неравенство $$\frac{2x^2 - 16x + 32}{x + 6} \leq 0$$.

Решение:

1. Найдем корни числителя:
   \( 2x^2 - 16x + 32 = 0 \)
   Разделим на 2: \( x^2 - 8x + 16 = 0 \)
   Это квадратное уравнение, его дискриминант \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 \).
   \( x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \).
   Таким образом, числитель имеет один корень \( x = 4 \).
2. Найдем корень знаменателя:
   \( x + 6 = 0 \)
   \( x = -6 \).
3. Определим знаки на интервалах:
   У нас есть точки \( x = -6 \) (знаменатель не должен быть равен нулю) и \( x = 4 \) (числитель может быть равен нулю).
   Интервалы: \( (-\infty; -6) \), \( (-6; 4] \), \( [4; \infty) \).
   Возьмем тестовые значения:
   • На интервале \( (-\infty; -6) \), например \( x = -7 \):
     \( \frac{2(-7)^2 - 16(-7) + 32}{-7 + 6} = \frac{2(49) + 112 + 32}{-1} = \frac{98 + 112 + 32}{-1} = \frac{242}{-1} = -242 \). Значение отрицательное.
   • На интервале \( (-6; 4] \), например \( x = 0 \):
     \( \frac{2(0)^2 - 16(0) + 32}{0 + 6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \). Значение положительное.
   • На интервале \( [4; \infty) \), например \( x = 5 \):
     \( \frac{2(5)^2 - 16(5) + 32}{5 + 6} = \frac{2(25) - 80 + 32}{11} = \frac{50 - 80 + 32}{11} = \frac{2}{11} \). Значение положительное.
4. Выберем подходящие интервалы:
   Нам нужно, чтобы выражение было \( \leq 0 \). Это соответствует интервалу \( (-\infty; -6) \).
   Так как числитель равен нулю при \( x = 4 \), то \( x = 4 \) включается в решение. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x = -6 \) не включается.

Ответ: \( (-\infty; -6) \cup \{4\} \)