5. Решите неравенство \(\log_{0.8}(2-x) \geq 2\).

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \(\log_{0.8}(2-x) \geq 2\) необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойство логарифмической функции.

1. ОДЗ: Основание логарифма \( 0.8 \) больше 0 и меньше 1, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 2 - x > 0 \). Отсюда \( x < 2 \).
2. Преобразуем неравенство: Так как основание \( 0.8 < 1 \), при переходе от логарифма к аргументу знак неравенства меняется на противоположный. Представим число \( 2 \) как логарифм по основанию \( 0.8 \): \( 2 = \log_{0.8}(0.8^2) = \log_{0.8}(0.64) \).
3. Теперь неравенство выглядит так: \(\log_{0.8}(2-x) \geq \log_{0.8}(0.64)\).
4. Учитывая, что функция убывающая, снимаем логарифмы, меняя знак неравенства: \( 2 - x \leq 0.64 \).
5. Решим полученное линейное неравенство: \( -x \leq 0.64 - 2 \) \( -x \leq -1.36 \) \( x \geq 1.36 \).
6. Объединим результаты ОДЗ и решения неравенства: \( x < 2 \) и \( x \geq 1.36 \).
7. Решением неравенства будет интервал \( [1.36; 2) \).

Ответ: \( [1.36; 2) \).