5. Решите систему \(\begin{cases}x+ay=a,\\ ax+y=2a-1.\end{cases}\)

Определитель системы:

\[D=\begin{vmatrix}1&a\\a&1\end{vmatrix}=1-a^2=(1-a)(1+a).\]

1) Если \(a\ne1\) и \(a\ne-1\), система имеет единственное решение.

Из первого уравнения выразим \(x\):

\[x=a-ay.\]

Подставим во второе уравнение:

\[a(a-ay)+y=2a-1,\]

\[a^2+(1-a^2)y=2a-1,\]

\[(1-a^2)y=2a-1-a^2,\]

\[y=\frac{2a-1-a^2}{1-a^2}=\frac{a-1}{a+1}.\]

Тогда

\[x=a-a\cdot\frac{a-1}{a+1}=\frac{2a}{a+1}.\]

Следовательно,

\[x=\frac{2a}{a+1},\qquad y=\frac{a-1}{a+1}.\]

2) Если \(a=1\), получаем:

\[\begin{cases}x+y=1,\\x+y=1.\end{cases}\]

Уравнения совпадают, поэтому система имеет бесконечно много решений: \(x+y=1\).

3) Если \(a=-1\), получаем:

\[\begin{cases}x-y=-1,\\-x+y=-3.\end{cases}\]

Умножение первого уравнения на \(-1\) даёт \(-x+y=1\), что противоречит второму уравнению \(-x+y=-3\). Поэтому решений нет.

Ответ:

• при \(a\ne\pm1\): \(\displaystyle x=\frac{2a}{a+1},\ y=\frac{a-1}{a+1}\);
• при \(a=1\): бесконечно много решений, \(x+y=1\);
• при \(a=-1\): решений нет.